数迹
题目列表试卷列表
共找到 9 题
排序：
组题
本页 9 题去组卷
05三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 若 a2+ab+b2−c2=0a^2 + ab + b^2 - c^2 = 0，则角 CC 的大小是______.
\begin{answer} 2π3\frac{2\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C
题设 a2+ab+b2−c2=0a^2+ab+b^2-c^2=0，所以 c2=a2+ab+b2c^2=a^2+ab+b^2. 比较两式并利用 aa，b>0b>0，得 −2abcos⁡C=ab-2ab\cos C=ab，cos⁡C=−12\cos C=-\frac{1}{2}. 因为 CC 是三角形内角，故 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

查看答案和解析
07计数原理与组合数学★★☆☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}. 若 (x2+ax)5\left(x^2 + \frac{a}{x}\right)^5 的二项展开式中 x7x^7 项的系数为 −10-10，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 C5k(x2)5−k(ax)k=C5kakx10−3k\mathrm C_5^k(x^2)^{5-k}\left(\frac{a}{x}\right)^k=\mathrm C_5^k a^k x^{10-3k}，k=0k=0，11，…\ldots，55. 要得到 x7x^7 项，必须满足 10−3k=710-3k=7，所以 k=1k=1. 此时 x7x^7 项的系数为 C51a=5a\mathrm C_5^1a=5a. 由 5a=−105a=-10，得 a=−2a=-2. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

查看答案和解析
08指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 93x−1+1=3x\frac{9}{3^x - 1} + 1 = 3^x 的实数解为______.
\begin{answer} x=log⁡34x = \log_{3}4 \end{answer}
\begin{solution} 令 t=3xt=3^x，则 t>0t>0 且 t≠1t\ne1. 原方程化为
9t−1+1=t\frac{9}{t-1}+1=t
即 9t−1=t−1\frac{9}{t-1}=t-1，(t−1)2=9(t-1)^2=9. 所以 t=4t=4 或 t=−2t=-2. 由于 t>0t>0，只能取 t=4t=4，从而 x=log⁡34x=\log_3 4，且该值满足原方程的定义域要求. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
09三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=13\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}，则 cos⁡(2x−2y)=\cos\left(2x-2y\right)=______.
\begin{answer} −79-\frac{7}{9} \end{answer}
\begin{solution} 由两角差的余弦公式，
cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=13\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}
因此
cos⁡(2x−2y)=2cos⁡2(x−y)−1=2(13)2−1=−79\cos(2x-2y)=2\cos^2(x-y)-1=2\left(\frac{1}{3}\right)^2-1=-\frac{7}{9}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
10立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱 Ω\Omega 的母线长为 ll，底面半径为 rr，OO 是上底面圆心，AA，BB 是下底面圆周上两个不同的点，BCBC 是母线，如图. 若直线 OAOA 与 BCBC 所成角的大小为 π6\frac{\pi}{6}，则 lr=‾\frac{l}{r} =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}
\begin{solution} 过下底面点 AA 作母线 ADAD，交上底面于 DD，则 AD∥BCAD\parallel BC，且 OD⊥ADOD\perp AD、OD=rOD=r、AD=lAD=l. 因此 ∠OAD\angle OAD 就是直线 OAOA 与 BCBC 所成的角，大小为 π6\frac{\pi}{6}. 在直角三角形 ODAODA 中，
tan⁡π6=ODAD=rl\tan\frac{\pi}{6}=\frac{OD}{AD}=\frac{r}{l}
所以 rl=13\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}，即 lr=3\frac{l}{r}=\sqrt{3}. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
11概率与统计★★☆☆☆
盒子中装有编号为 11，22，33，44，55，66，77 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______.（结果用最简分数表示）
\begin{answer} 57\frac{5}{7} \end{answer}
\begin{solution} 从 77 个球中任取 22 个，共有 C72=21\mathrm C_7^2=21 种等可能取法. 两球编号之积为奇数，当且仅当两球都是奇数；奇数球有 11，33，55，77 共 44 个，故这种取法有 C42=6\mathrm C_4^2=6 种. 因而积为偶数的取法有 21−6=1521-6=15 种，所求概率为
1521=57\frac{15}{21}=\frac{5}{7}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

查看答案和解析
15函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 （x⩾1x \geqslant 1）的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，则 f−1(2)f^{-1}(2) 的值是（\quad）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 y=x2−1y=x^2-1 且 x⩾1x\geqslant1，反解得 x=y+1x=\sqrt{y+1}. 因而 f−1(x)=x+1f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}，所以
f−1(2)=3f^{-1}(2)=\sqrt3
因此选 A. \end{solution}
A.
3\sqrt{3}
B.
−3-\sqrt{3}
C.
1+21 + \sqrt{2}
D.
1−21 - \sqrt{2}

2013 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
17集合与逻辑基础★★☆☆☆
钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 把“便宜”记为 pp，把“好货”记为 qq. “便宜没好货”表示 p⇒¬qp\Rightarrow\lnot q，其逆否命题为 q⇒¬pq\Rightarrow\lnot p. 因而“好货”是“不便宜”的充分条件，等价地说“不便宜”是“好货”的必要条件. 题目问的是后者，所以选 B. \end{solution}
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分也非必要条件

2013 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
19立体几何初步★★☆☆☆
如图，正三棱锥 O−ABCO - ABC 底面边长为 22，高为 11，求该三棱锥的体积及表面积.
\begin{solution} 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}，所以底面积为 12×2×3=3\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}. 因此三棱锥的体积为
V=13×3×1=33V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}
设 HH 是正三角形 ABCABC 的中心，DD 是 ABAB 的中点. 则 HDHD 是正三角形的内切半径，HD=33HD=\frac{\sqrt{3}}{3}，且正三棱锥的高 OH=1OH=1，所以侧面三角形 OABOAB 的高为
OD=OH2+HD2=12+(33)2=233OD=\sqrt{OH^2+HD^2}=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
每个侧面三角形的面积为 12×2×233=233\frac{1}{2}\times2\times\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}，三个侧面的总面积为 232\sqrt{3}. 故三棱锥的表面积为
S=3+23=33S=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析