若数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{1} = \frac{1}{3}$，且对任意正整数 $m$，$n$ 都有 $a_{m+n} = a_m \cdot a_n$，则 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) =$（ ）