极坐标方程分别是 $\rho=\cos\theta$ 和 $\rho=\sin\theta$ 的两个圆的圆心距是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 由 $x=\rho\cos\theta$、$y=\rho\sin\theta$ 及 $\rho^2=x^2+y^2$，方程 $\rho=\cos\theta$ 可化为 $x^2+y^2=\rho^2=\rho\cos\theta=x$，即 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}$. 它的圆心为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$.

同理，方程 $\rho=\sin\theta$ 化为 $x^2+y^2=y$，即 $x^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$，圆心为 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$. 所以圆心距为 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选 D. \end{solution}

直线 （$t$ 为参数）的倾斜角是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 参数方程给出的方向向量为 $\left(\sin20^{\circ},-\cos20^{\circ}\right)$，所以直线斜率为 $\frac{-\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=-\cot20^{\circ}=\tan110^{\circ}$. 由于倾斜角取 $[0^{\circ},180^{\circ})$ 内的角，故倾斜角为 $110^{\circ}$，选 C. \end{solution}

焦点为 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(6,0)$，离心率为 $2$ 的双曲线的方程是______.

\begin{answer} $\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ \end{answer}

\begin{solution} 两焦点的中点为 $(2,0)$，焦半距为 $c=4$. 由离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，得 $a=2$. 双曲线满足 $c^2=a^2+b^2$，所以 $b^2=16-4=12$. 由于焦点在 $x$ 轴上，方程为 $\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$. \end{solution}