已知复数 $z$ 的模为 $2$，则 $|z-\mathrm{i}|$ 的最大值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 由三角不等式，$|z-\mathrm{i}|=|z+(-\mathrm{i})|\leqslant|z|+|\mathrm{i}|=2+1=3$. 还需验证等号可以取得：取 $z=-2\mathrm{i}$，则 $|z|=2$，且 $z$ 与 $-\mathrm{i}$ 同向，所以 $|z-\mathrm{i}|=|-3\mathrm{i}|=3$. 因而最大值为 $3$，故选 D. \end{solution}

已知 $z\in \mathbf{C}$，解方程：$z\bar{z}-3\mathrm{i}\bar{z}=1+3\mathrm{i}$.

\begin{solution} 设 $z=x+y\mathrm{i}$，则 $\bar z=x-y\mathrm{i}$，且 $z\bar z=x^2+y^2$. 代入方程并整理实部、虚部，得 $x^2+y^2-3y-3x\mathrm{i}=1+3\mathrm{i}$. 比较虚部得 $-3x=3$，所以 $x=-1$；比较实部得 $1+y^2-3y=1$，即 $y(y-3)=0$. 因而 $y=0$ 或 $y=3$，解为 $z=-1$ 或 $z=-1+3\mathrm{i}$. \end{solution}