证明：如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$CB$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $B$，$OC$ 平行于弦 $AD$，求证：$DC$ 是圆 $O$ 的切线.

已知椭圆短轴长为 $2$，中心与抛物线 $y^2=4x$ 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长.

已知菱形的一对内角各为 $60^\circ$，边长为 $4$，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形 $60^\circ$ 角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.