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07平面向量★★☆☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{b}|，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 ∣a+b∣=∣b∣\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{b}\rvert，平方得
∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2=∣b∣2\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2=\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2
所以 a⋅b=−12∣a∣2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac12\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2. 于是
∣a+2b∣2=∣a∣2+4a⋅b+4∣b∣2=4∣b∣2−∣a∣2<4∣b∣2=∣2b∣2\lvert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\rvert^2 =\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2 =4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2-\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2 <4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2=\lvert2\boldsymbol{b}\rvert^2
故 ∣2b∣>∣a+2b∣\lvert2\boldsymbol{b}\rvert>\lvert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\rvert，选 C. \end{solution}
A.
∣2a∣>∣2a+b∣|2\boldsymbol{a}| > |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|
B.
∣2a∣<∣2a+b∣|2\boldsymbol{a}| < |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|
C.
∣2b∣>∣a+2b∣|2\boldsymbol{b}| > |\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}|
D.
∣2b∣<∣a+2b∣|2\boldsymbol{b}| < |\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}|

2007 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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