已知直线 $l$ 过圆 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ 的圆心，且与直线 $x + y + 1 = 0$ 垂直，则 $l$ 的方程是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 圆 $x^2+(y-3)^2=4$ 的圆心为 $(0,3)$. 直线 $x+y+1=0$ 的斜率为 $-1$，所以与它垂直的直线斜率为 $1$. 过 $(0,3)$ 的直线 $l$ 为 $y-3=x$，即 $x-y+3=0$. 因此选 D. \end{solution}

已知圆 $C: (x - a)^2 + (y - b)^2 = 1$，平面区域 若圆心 $C \in \Omega$，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，则 $a^2 + b^2$ 的最大值为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 圆 $C$ 的半径为 $1$，且与 $x$ 轴相切，所以圆心的纵坐标满足 $|b|=1$. 又圆心 $C\in\Omega$ 且 $y\geqslant0$，故 $b=1$. 将 $(a,1)$ 代入区域条件，得 $a+1\leqslant7$ 和 $a-1+3\geqslant0$，即 $-2\leqslant a\leqslant6$. 于是 $a^2+b^2=a^2+1$. 在区间 $[-2,6]$ 上，$a^2$ 的最大值为 $36$，在 $a=6$ 时取得，所以最大值为 $37$. 因此选 C. \end{solution}