已知函数 $f(x) = 1 - 2\sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) + 2\sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right)\cos \left(x + \frac{\pi}{8}\right)$. 求：

(1) 函数 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 函数 $f(x)$ 的单调增区间.