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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 0<a<10 < a < 1，log⁡am<log⁡an<0\log_a m < \log_a n < 0，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<a<10<a<1，所以函数 y=log⁡axy=\log_a x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减. 由 log⁡am<log⁡an\log_a m<\log_a n 得 m>nm>n. 又因为 log⁡an<0=log⁡a1\log_a n<0=\log_a1，由单调递减性得 n>1n>1. 所以 1<n<m1<n<m，选 A. \end{solution}
A.
1<n<m1 < n < m
B.
1<m<n1 < m < n
C.
m<n<1m < n < 1
D.
n<m<1n < m < 1

2006 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，不等式组
{x+y−2⩾0,x−y+2⩾0,x⩽2\begin{cases} x+y-2\geqslant0,\\ x-y+2\geqslant0,\\ x\leqslant2 \end{cases}
表示的平面区域的面积是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 不等式组等价于 y⩾2−xy\geqslant2-x、y⩽x+2y\leqslant x+2 和 x⩽2x\leqslant2. 两条斜边界线的交点为 (0,2)(0,2)，直线 x=2x=2 与它们的交点分别为 (2,0)(2,0) 和 (2,4)(2,4). 因而所表示的区域是以这三个点为顶点的三角形，其底边长为 44，高为 22，面积为 12×4×2=4\frac12\times4\times2=4. 因此选 B. \end{solution}
A.
424\sqrt{2}
B.
44
C.
222\sqrt{2}
D.
22

2006 · 浙江 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
若双曲线 x2m−y2=1\frac{x^2}{m} - y^2 = 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 13\frac{1}{3}，则 m=m =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 双曲线可写为 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1，其中 a2=ma^2=m，b2=1b^2=1. 于是焦半距满足 c2=a2+b2=m+1c^2=a^2+b^2=m+1，离心率为
e=ca=m+1me=\frac ca=\sqrt{\frac{m+1}{m}}
对于左支，点到左焦点的距离与到左准线的距离之比为离心率. 题设给出到左准线的距离是到左焦点距离的 13\frac13，故 e=3e=3. 因此
m+1m=9\frac{m+1}{m}=9
解得 m=18m=\frac18. 因此选 C. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
32\frac{3}{2}
C.
18\frac{1}{8}
D.
98\frac{9}{8}

2006 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★☆☆☆
“a>b>0a > b > 0”是“ab<a2+b22ab < \frac{a^{2} + b^{2}}{2}”的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 a>b>0a>b>0 得 (a−b)2>0(a-b)^2>0，即 a2+b2>2aba^2+b^2>2ab，从而
ab<a2+b22ab<\frac{a^2+b^2}{2}
所以该条件是充分条件. 但它不是必要条件，例如取 a=1a=1，b=2b=2，则 ab=2<1+42ab=2<\frac{1+4}{2}，而 a>b>0a>b>0 不成立. 因此选 A. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
若多项式 x2+x10=a0+a1(x+1)+⋯+a9(x+1)9+a10(x+1)10x^{2} + x^{10} = a_{0} + a_{1}(x + 1) + \dots + a_{9}(x + 1)^{9} + a_{10}(x + 1)^{10}，则 a9=a_9 =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 t=x+1t=x+1，则 x=t−1x=t-1. 展开式中 a9a_9 是 t9t^9 的系数. 其中 (t−1)2(t-1)^2 不含 t9t^9，而 二项式 (t−1)10(t-1)^{10} 中 t9t^9 项的系数为 C109(−1)10−9=−C109=−10\mathrm C_{10}^{9}(-1)^{10-9}=-\mathrm C_{10}^{9}=-10. 因此 a9=−10a_9=-10，选 D. \end{solution}
A.
99
B.
1010
C.
−9-9
D.
−10-10

2006 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 若 S5=10S_{5} = 10，S10=−5S_{10} = -5，则公差为______（用数字作答）.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的首项为 a1a_1，公差为 dd. 由前 nn 项和公式，得 S5=5a1+10d=10S_5=5a_1+10d=10，S10=10a1+45d=−5S_{10}=10a_1+45d=-5. 将第一式乘以 22，得 10a1+20d=2010a_1+20d=20. 与第二式相减，得到 25d=−2525d=-25，所以 d=−1d=-1. \end{solution}

2006 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，满足 a+b+c=0\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0，(a−b)⊥c(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{c}，a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，若 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，则 ∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 的值是______.
\begin{answer} 44 \end{answer}
\begin{solution} 由 a+b+c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0，得 c=−(a+b)\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}). 由 (a−b)⊥c(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{c}，有
0=(a−b)⋅c=−(a−b)⋅(a+b)=−∣a∣2+∣b∣20=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=-|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2
所以 ∣b∣=∣a∣=1|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|=1. 又因为 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，
∣c∣2=∣a+b∣2=∣a∣2+∣b∣2=2|\boldsymbol{c}|^2=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2=2
故 ∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2=1+1+2=4|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{c}|^2=1+1+2=4. \end{solution}

2006 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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