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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 y1=40.9y_1=4^{0.9}，y2=80.44y_2=8^{0.44}，y3=(12)−1.5y_3=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1.5}，则（ ）
\begin{solution} 把各数化为底数为 22 的幂，有 y1=40.9=21.8y_1=4^{0.9}=2^{1.8}，y2=80.44=21.32y_2=8^{0.44}=2^{1.32}，y3=(12)−1.5=21.5y_3=\left(\frac12\right)^{-1.5}=2^{1.5}. 由于 2>12>1，且 1.8>1.5>1.321.8>1.5>1.32，所以 y1>y3>y2y_1>y_3>y_2，应选 D. \end{solution}
A.
y3>y1>y2y_3>y_1>y_2
B.
y2>y1>y3y_2>y_1>y_3
C.
y1>y2>y3y_1>y_2>y_3
D.
y1>y3>y2y_1>y_3>y_2

2003 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
“cos⁡2α=−32\cos 2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}”是“α=kπ+5π12\alpha=k\pi+\frac{5\pi}{12}，k∈Zk\in\mathbf{Z}”的（ ）
\begin{solution} 由 cos⁡2α=−32\cos 2\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}，得 2α=5π6+2kπ2\alpha=\frac{5\pi}{6}+2k\pi 或 2α=7π6+2kπ2\alpha=\frac{7\pi}{6}+2k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因此 α=5π12+kπ\alpha=\frac{5\pi}{12}+k\pi 或 α=7π12+kπ\alpha=\frac{7\pi}{12}+k\pi. 后一个条件“α=kπ+5π12\alpha=k\pi+\frac{5\pi}{12}”能推出前一个等式，但前一个等式还包含 α=kπ+7π12\alpha=k\pi+\frac{7\pi}{12} 的情形，所以它是必要非充分条件，应选 A. \end{solution}
A.
必要非充分条件
B.
充分非必要条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分又非必要条件

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04立体几何初步★★☆☆☆
已知 α\alpha，β\beta 是平面，mm，nn 是直线. 下列命题中不正确的是（ ）
\begin{solution} 若 m∥nm\parallel n 且 m⊥αm\perp\alpha，则与 mm 平行的直线 nn 也垂直于平面 α\alpha，所以命题 A 正确. 若两平面都垂直于同一直线 mm，则它们的法向方向相同，从而 α∥β\alpha\parallel\beta，命题 C 正确. 若 m⊥αm\perp\alpha 且 m⊂βm\subset\beta，平面 β\beta 内有一条直线垂直于平面 α\alpha，所以 α⊥β\alpha\perp\beta，命题 D 正确.
命题 B 不成立：例如取 α\alpha 为平面 z=0z=0，β\beta 为平面 y=0y=0，则 n=α∩βn=\alpha\cap\beta 为 xx 轴；再取直线 m ⁣:y=xm\colon y=x， z=1\ z=1，则 m∥αm\parallel\alpha，但 m∦nm\not\parallel n. 因此不正确的是 B. \end{solution}
A.
若 m∥nm\parallel n，m⊥αm\perp\alpha，则 n⊥αn\perp\alpha
B.
若 m∥αm\parallel\alpha，α∩β=n\alpha\cap\beta=n，则 m∥nm\parallel n
C.
若 m⊥αm\perp\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α∥β\alpha\parallel\beta
D.
若 m⊥αm\perp\alpha，m⊂βm\subset\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta

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05解析几何★★☆☆☆
极坐标方程 ρ2cos⁡2θ−2ρcos⁡θ=1\rho^2\cos 2\theta-2\rho\cos\theta=1 表示的曲线是（ ）
\begin{solution} 令 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta，则 ρ2cos⁡2θ=x2−y2\rho^2\cos2\theta=x^2-y^2，且 ρcos⁡θ=x\rho\cos\theta=x. 原方程化为 x2−y2−2x=1x^2-y^2-2x=1，即 (x−1)2−y2=2(x-1)^2-y^2=2. 这是以 (1,0)(1,0) 为中心、实轴平行于 xx 轴的双曲线，应选 D. \end{solution}
A.
圆
B.
椭圆
C.
抛物线
D.
双曲线

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07立体几何初步★★☆☆☆
如果圆台的母线与底面成 60∘60^{\circ} 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）
\begin{solution} 设圆台上、下底面的半径分别为 RR、r0r_0，母线长为 ℓ\ell，高为 hh. 母线与底面成 60∘60^{\circ} 角，所以 h=ℓsin⁡60∘h=\ell\sin60^{\circ}. 圆台的侧面积为 S1=π(R+r0)ℓS_1=\pi(R+r_0)\ell，轴截面是高为 hh、两底边长分别为 2R2R、2r02r_0 的等腰梯形，故其面积为 S2=(R+r0)hS_2=(R+r_0)h. 因此
S1S2=πℓh=πsin⁡60∘=233π\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi\ell}{h}=\frac{\pi}{\sin60^{\circ}}=\frac{2\sqrt3}{3}\pi
所以应选 C. \end{solution}
A.
2π2\pi
B.
32π\frac{3}{2}\pi
C.
233π\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi
D.
12π\frac{1}{2}\pi

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
从黄瓜，白菜，油菜，扁豆 4 种4\text{ 种}蔬菜品种中选出 3 种3\text{ 种}，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）
\begin{solution} 黄瓜必须选取，再从白菜、油菜、扁豆中选取 22 种，有 C32=3\mathrm C_3^2=3 种选法. 选定 33 种后，将它们分别种在三块不同土质的土地上，有 A33=3!=6\mathrm A_3^3=3!=6 种安排. 因此不同种植方法共有 3×6=183\times6=18 种，应选 B. \end{solution}
A.
24 种24\text{ 种}
B.
18 种18\text{ 种}
C.
12 种12\text{ 种}
D.
6 种6\text{ 种}

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11函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡(1+x2)f(x)=\lg(1+x^2)，
g(x)={x+2,x<−1,0,∣x∣⩽1,−x+2,x>1,g(x)= \begin{cases} x+2, & x<-1,\\ 0, & |x|\leqslant 1,\\ -x+2, & x>1, \end{cases}
h(x)=tan⁡2xh(x)=\tan 2x 中，______ 是偶函数.
\begin{solution} 对任意定义域内的 xx，有 f(−x)=lg⁡(1+(−x)2)=lg⁡(1+x2)=f(x)f(-x)=\lg(1+(-x)^2)=\lg(1+x^2)=f(x)，所以 ff 是偶函数. 对 gg 分段考察：当 x>1x>1 时，g(x)=−x+2g(x)=-x+2，且 −x<−1-x<-1，故 g(−x)=(−x)+2=−x+2=g(x)g(-x)=(-x)+2=-x+2=g(x)；当 x<−1x<-1 时，−x>1-x>1，故 g(−x)=−(−x)+2=x+2=g(x)g(-x)=-(-x)+2=x+2=g(x)；当 ∣x∣⩽1\lvert x\rvert\leqslant1 时，∣−x∣⩽1\lvert -x\rvert\leqslant1，从而 g(−x)=g(x)=0g(-x)=g(x)=0. 所以 gg 也是偶函数.
函数 hh 的定义域为 {x∣cos⁡2x≠0}\{x\mid \cos2x\ne0\}，关于原点对称；在该定义域内，h(−x)=tan⁡(−2x)=−tan⁡2x=−h(x)h(-x)=\tan(-2x)=-\tan2x=-h(x)，所以 hh 是奇函数而不是偶函数. 因此填 f(x)f(x)、g(x)g(x). \end{solution}

2003 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
以双曲线 x216−y29=1\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是______.
\begin{solution} 双曲线的半长轴为 44，半短轴为 33，所以半焦距为 c=42+32=5c=\sqrt{4^2+3^2}=5. 因而双曲线的右顶点为 V(4,0)V(4,0)，左焦点为 F(−5,0)F(-5,0). 设所求抛物线的标准方程为 y2=4p(x−4)y^2=4p(x-4)，则其焦点为 (4+p,0)(4+p,0). 由 4+p=−54+p=-5 得 p=−9p=-9，所以所求抛物线的方程为 y2=−36(x−4)y^2=-36(x-4). \end{solution}

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