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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 (x+i)6\left(x+\mathrm{i}\right)^6 的展开式中含 x4x^4 的项为（ ）
\begin{solution} 由二项式定理，
(x+i)6=∑r=06C6rx6−rir(x+\mathrm{i})^6=\sum_{r=0}^{6}\mathrm C_6^r x^{6-r}\mathrm{i}^r
含 x4x^4 的项对应 6−r=46-r=4，即 r=2r=2.因此该项为
C62x4i2=15x4(−1)=−15x4\mathrm C_6^2x^4\mathrm{i}^2=15x^4(-1)=-15x^4
所以选 A. \end{solution}
A.
−15x4-15x^4
B.
15x415x^4
C.
−20ix4-20\mathrm{i} x^4
D.
20ix420\mathrm{i} x^4

2016 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=sin⁡(2x−π3)y=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right) 的图象，只需把函数 y=sin⁡2xy=\sin 2x 的图象上所有的点（ ）
\begin{solution} 令 u=x−π6u=x-\dfrac{\pi}{6}，则
sin⁡(2x−π3)=sin⁡2u\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin 2u
因此把 y=sin⁡2xy=\sin 2x 的图象向右平移 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度即可得到目标图象，所以选 D. \end{solution}
A.
向左平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度
B.
向右平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度
C.
向左平行移动 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度
D.
向右平行移动 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度

2016 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字 11，22，33，44，55 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
\begin{solution} 五位数为奇数，当且仅当个位数字为 11、33 或 55.个位有 33 种选法，余下四个数字在前四位任意排列，有 4!=244!=24 种，所以奇数共有
3×4!=723\times4!=72
个，选 D. \end{solution}
A.
2424
B.
4848
C.
6060
D.
7272

2016 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元130\text{ 万元}，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%12\%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元200\text{ 万元} 的年份是（ ）
（参考数据：lg⁡1.12≈0.05\lg 1.12\approx0.05，lg⁡1.3≈0.11\lg 1.3\approx0.11，lg⁡2≈0.30\lg 2\approx0.30）
\begin{solution} 设从 20152015 年起经过 kk 年，则全年投入资金为 130(1.12)k130(1.12)^k 万元.要求
130(1.12)k>200130(1.12)^k>200
即
k>lg⁡(200130)lg⁡1.12=lg⁡2−lg⁡1.3lg⁡1.12≈0.30−0.110.05=3.8k>\frac{\lg(\frac{200}{130})}{\lg1.12}=\frac{\lg2-\lg1.3}{\lg1.12}\approx\frac{0.30-0.11}{0.05}=3.8
最小整数 kk 为 44，对应年份为 2015+4=20192015+4=2019 年，所以选 B. \end{solution}
A.
20182018 年
B.
20192019 年
C.
20202020 年
D.
20212021 年

2016 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 nn，xx 的值分别为 33，22，则输出 vv 的值为（ ）
\begin{solution} 按程序逐次循环.初始 v=1v=1，i=3−1=2i=3-1=2.当 i=2i=2 时，
v=2×1+2=4v=2\times1+2=4
随后 i=1i=1；当 i=1i=1 时，
v=2×4+1=9v=2\times4+1=9
随后 i=0i=0；当 i=0i=0 时，
v=2×9+0=18v=2\times9+0=18
随后 i=−1i=-1.此时不满足 i≥0i\geq0，输出 v=18v=18，所以选 B. \end{solution}
A.
99
B.
1818
C.
2020
D.
3535

2016 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12概率与统计★★☆☆☆
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 22 次试验中成功次数 XX 的均值是______.
\begin{solution} 一次试验失败当且仅当两枚硬币都反面，因此一次试验成功的概率为
1−14=341-\frac14=\frac34
两次试验相互独立，故 XX 服从参数为 22、34\dfrac34 的二项分布，从而
E(X)=2×34=32E(X)=2\times\frac34=\frac32
\end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 22 的奇函数，当 0<x<10<x<1 时，f(x)=4xf(x)=4^x，则 f(−52)+f(1)=‾f\left(-\dfrac52\right)+f(1)=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 由周期性，
f(−52)=f(−12)f\left(-\dfrac52\right)=f\left(-\dfrac12\right)
由奇函数性质，
f(−12)=−f(12)=−412=−2f\left(-\frac12\right)=-f\left(\frac12\right)=-4^{\frac{1}{2}}=-2
又因周期为 22，有 f(−1)=f(1)f(-1)=f(1)；因奇函数 f(−1)=−f(1)f(-1)=-f(1)，所以 f(1)=0f(1)=0.故
f(−52)+f(1)=−2f\left(-\frac52\right)+f(1)=-2
\end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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