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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1+3x)n(1 + 3x)^{n} （其中 n∈Nn\in \mathbf{N} 且 n⩾6n\geqslant 6 ）的展开式中 x5x^{5} 与 x6x^{6} 的系数相等，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式中 x5x^5 的系数为 Cn535\mathrm C_n^5 3^5，x6x^6 的系数为 Cn636\mathrm C_n^6 3^6. 由题设，得 Cn535=Cn636\mathrm C_n^5 3^5=\mathrm C_n^6 3^6，即 1=3Cn6Cn5=3⋅n−561=3\dfrac{\mathrm C_n^6}{\mathrm C_n^5}=3\cdot\dfrac{n-5}{6}. 因而 n=7n=7，故选 B. \end{solution}
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2011 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
下列区间中，函数 f(x)=∣ln⁡(2−x)∣f(x) = |\ln (2 - x)| 在其上为增函数的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 函数的定义域为 x<2x<2. 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，ln⁡(2−x)⩾0\ln(2-x)\geqslant0，所以 f(x)=ln⁡(2−x)f(x)=\ln(2-x)，且 f′(x)=−12−x<0f'(x)=-\frac{1}{2-x}<0，函数在此区间上为减函数. 当 x∈[1,2)x\in[1,2) 时，ln⁡(2−x)⩽0\ln(2-x)\leqslant0，所以 f(x)=−ln⁡(2−x)f(x)=-\ln(2-x)，且 f′(x)=12−x>0f'(x)=\frac{1}{2-x}>0，函数在此区间上为增函数. 选项 A 为减区间，B、C 均跨过 x=1x=1，只有 D 是增区间，故选 D. \end{solution}
A.
(−∞,1](-\infty, 1]
B.
[−1,43]\left[-1, \frac{4}{3}\right]
C.
[0,32)\left[0, \frac{3}{2}\right)
D.
[1,2)[1,2)

2011 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边 aa，bb，cc 满足 (a+b)2−c2=4(a + b)^2 - c^2 = 4，且 C=60∘C = 60^\circ，则 abab 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理及 C=60∘C=60^\circ，得 c2=a2+b2−2abcos⁡60∘=a2+b2−abc^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab. 因此 (a+b)2−c2=a2+2ab+b2−(a2+b2−ab)=3ab=4(a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2-ab)=3ab=4，所以 ab=43ab=\frac{4}{3}，故选 A. \end{solution}
A.
43\frac{4}{3}
B.
8−438 - 4\sqrt{3}
C.
1
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a3+a7=37a_{3} + a_{7} = 37，则 a2+a4+a6+a8=‾a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 74 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列中，等距离两项的和相等. 因为 a3+a7=2a5=37a_3+a_7=2a_5=37，所以 a2+a8=2a5=37a_2+a_8=2a_5=37，a4+a6=2a5=37a_4+a_6=2a_5=37. 因而 a2+a4+a6+a8=37+37=74a_2+a_4+a_6+a_8=37+37=74. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1e_1，e2e_2 的夹角为 60∘60^\circ，则 ∣2e1−e2∣=‾|2e_1 - e_2| =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}
\begin{solution} 由 e1e_1，e2e_2 是单位向量且夹角为 60∘60^\circ，得 e1⋅e2=cos⁡60∘=12e_1\cdot e_2=\cos60^\circ=\frac{1}{2}. 因此 ∣2e1−e2∣2=4∣e1∣2+∣e2∣2−4e1⋅e2=4+1−4⋅12=3\lvert2e_1-e_2\rvert^2=4\lvert e_1\rvert^2+\lvert e_2\rvert^2-4e_1\cdot e_2=4+1-4\cdot\frac{1}{2}=3，从而 ∣2e1−e2∣=3\lvert2e_1-e_2\rvert=\sqrt{3}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为______. \begin{answer} 1132\frac{11}{32} \end{answer}
\begin{solution} 设正面出现次数为 XX，则反面出现次数为 6−X6-X. 条件“正面出现的次数比反面出现的次数多”等价于 X>6−XX>6-X，即 X=4X=4，55，66. 六次抛掷共有 262^6 种等可能结果，满足条件的结果数为 C64+C65+C66=15+6+1=22\mathrm C_6^4+\mathrm C_6^5+\mathrm C_6^6=15+6+1=22，所以所求概率为 2226=1132\frac{22}{2^6}=\frac{11}{32}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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