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29
数列
★★☆☆☆
lim
n
→
∞
(
1
n
2
+
1
+
2
n
2
+
1
+
⋯
+
n
n
2
+
1
)
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 1} + \cdots + \frac{n}{n^2 + 1}\right)
n
→
∞
lim
(
n
2
+
1
1
+
n
2
+
1
2
+
⋯
+
n
2
+
1
n
)
的值是______.
1989 · 广东 · 文 · 第 29 题 · 填空题
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31
指数函数与对数函数
★★☆☆☆
设
f
(
x
)
=
a
x
−
1
f(x) = a^{x - 1}
f
(
x
)
=
a
x
−
1
，其中常数
a
>
0
a > 0
a
>
0
.
(1) 如果
{
x
n
}
\{x_n\}
{
x
n
}
是等差数列，求证：
{
f
(
x
n
)
}
\{f(x_n)\}
{
f
(
x
n
)}
是等比数列； (2) 如果
a
=
4
a = 4
a
=
4
，解方程
4
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
−
1
=
0
4f(x) + f(-x) - 1 = 0
4
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
−
1
=
0
.
1989 · 广东 · 文 · 第 31 题 · 解答题
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