在二项式 $(1 + 3x)^{n}$ 和 $(2x + 5)^{n}$ 的展开式中，各项系数之和分别记为 $a_{n}$，$b_{n}$，$n$ 是正整数，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - 2b_n}{3a_n - 4b_n} =$______.

\begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $x=1$，二项式 $(1+3x)^n$ 和 $(2x+5)^n$ 的各项系数之和分别为 $a_n=4^n$，$b_n=7^n$. 因而 由于 $0<\frac47<1$，有 $\left(\frac47\right)^n\to0$，所以原极限为 $\frac{-2}{-4}=\frac12$. \end{solution}