若正四棱锥的底面边长为 $2\sqrt{3}\mathrm{~cm}$，体积为 $4\mathrm{~cm}^{3}$，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______.

\begin{answer} $30^\circ$ \end{answer}

\begin{solution} 设正四棱锥的高为 $h$，底面中心为 $O$，取一条底面棱的中点 $M$，设棱锥顶点为 $S$. 底面正方形的面积为 $(2\sqrt{3})^2=12$，由体积公式 $\frac13\times12h=4$，得 $h=SO=1$. 又 $OM$ 是正方形的内切半径，所以 $OM=\sqrt{3}$. 过 $M$ 作底面棱的垂线，得到侧面与底面的二面角的平面角 $\angle SMO$. 在直角三角形 $SOM$ 中，$\tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\frac1{\sqrt3}$，故二面角为 $30^\circ$. \end{solution}