已知函数 $f(x) = \sin 2x$，$g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$，直线 $x = t$（$t \in \mathbf{R}$）与函数 $f(x)$，$g(x)$ 的图象分别交于 $M$，$N$ 两点.

(1) 当 $t = \frac{\pi}{4}$ 时，求 $|MN|$ 的值； (2) 求 $\left|MN\right|$ 在 $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时的最大值.