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02复数★★☆☆☆
已知复数 z=1−iz = 1 - \mathrm{i}，则 z2−2zz−1=\frac{z^2 - 2z}{z - 1} =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 z=1−iz=1-\mathrm{i} 得 z−1=−iz-1=-\mathrm{i}，且 z2=(1−i)2=−2iz^2=\left(1-\mathrm{i}\right)^2=-2\mathrm{i}. 因此 z2−2z=−2i−2(1−i)=−2z^2-2z=-2\mathrm{i}-2\left(1-\mathrm{i}\right)=-2，从而
z2−2zz−1=−2−i=2i=−2i\frac{z^2-2z}{z-1}=\frac{-2}{-\mathrm{i}}=\frac{2}{\mathrm{i}}=-2\mathrm{i}
故选 B. \end{solution}
A.
2i2\mathrm{i}
B.
−2i-2\mathrm{i}
C.
22
D.
−2-2

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
如果等腰三角形的周长是底边长的 55 倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设等腰三角形的底边长为 cc，两腰长均为 ll. 由周长条件，2l+c=5c2l+c=5c，所以 l=2cl=2c. 设顶角为 θ\theta，由余弦定理得
cos⁡θ=l2+l2−c22l2=2(2c)2−c22(2c)2=78\cos\theta=\frac{l^2+l^2-c^2}{2l^2}=\frac{2\left(2c\right)^2-c^2}{2\left(2c\right)^2}=\frac{7}{8}
故选 D. \end{solution}
A.
518\frac{5}{18}
B.
34\frac{3}{4}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
78\frac{7}{8}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
下面的程序框图，如果输入三个实数 aa，bb，cc，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 程序先令 x=ax=a. 第一个判断框若填 b>xb>x，则在 b>xb>x 时令 x=bx=b，否则保留 x=ax=a，因此经过这一判断后 x=max⁡{a,b}x=\max\{a,b\}. 第二个判断框必须在 c>xc>x 时令 x=cx=c，否则保持原值，才能保证最后输出 max⁡{a,b,c}\max\{a,b,c\}. 所以应填 c>xc>x，故选 A. \end{solution}
A.
c>xc > x
B.
x>cx > c
C.
c>bc > b
D.
b>cb > c

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
已知 a1>a2>a3>0a_{1} > a_{2} > a_{3} > 0，则使得 (1−aix)2<1(1 - a_{i}x)^{2} < 1（i=1i = 1，22，33）都成立的 xx 取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 对任意 i∈{1,2,3}i\in\{1,2,3\}，有
(1−aix)2<1⟺−1<1−aix<1⟺0<aix<2\left(1-a_i x\right)^2<1 \Longleftrightarrow -1<1-a_i x<1 \Longleftrightarrow 0<a_i x<2
因为 ai>0a_i>0，所以该不等式等价于 0<x<2ai0<x<\frac{2}{a_i}. 三个不等式同时成立时，xx 必须属于这些区间的交集；又因 a1>a2>a3>0a_1>a_2>a_3>0，有 2a1<2a2<2a3\frac{2}{a_1}<\frac{2}{a_2}<\frac{2}{a_3}，故交集为 (0,2a1)\left(0,\frac{2}{a_1}\right). 故选 B. \end{solution}
A.
(0,1a1)\left(0, \frac{1}{a_1}\right)
B.
(0,2a1)\left(0, \frac{2}{a_1}\right)
C.
(0,1a3)\left(0, \frac{1}{a_3}\right)
D.
(0,2a3)\left(0, \frac{2}{a_3}\right)

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
3−sin⁡70∘2−cos⁡210∘=\frac{3 - \sin 70^{\circ}}{2 - \cos^{2}10^{\circ}} =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用诱导公式 sin⁡70∘=cos⁡20∘\sin70^{\circ}=\cos20^{\circ}，以及二倍角公式 cos⁡210∘=1+cos⁡20∘2\cos^2 10^{\circ}=\frac{1+\cos20^{\circ}}{2}，可得
2−cos⁡210∘=2−1+cos⁡20∘2=3−cos⁡20∘22-\cos^2 10^{\circ}=2-\frac{1+\cos20^{\circ}}{2}=\frac{3-\cos20^{\circ}}{2}
因此
3−sin⁡70∘2−cos⁡210∘=3−cos⁡20∘3−cos⁡20∘2=2\frac{3-\sin70^{\circ}}{2-\cos^2 10^{\circ}} =\frac{3-\cos20^{\circ}}{\frac{3-\cos20^{\circ}}{2}}=2
故选 C. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
22
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 共线的充要条件是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 若存在不全为零的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，使得 λ1a+λ2b=\bs0\lambda_1\boldsymbol{a}+\lambda_2\boldsymbol{b}=\bs0，则 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 线性相关；在平面向量中，这等价于两个向量共线. 反之，若 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 共线，则当其中一个为零向量时可直接取相应系数为 11、另一个为 00；当两者均非零时，一个向量是另一个向量的实数倍，也能得到这样的非零系数组合. 因此选项 D 是充要条件，故选 D. \end{solution}
A.
a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 方向相同
B.
a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 两向量中至少有一个为零向量
C.
∃λ∈R\exists \lambda \in \mathbf{R}，b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}
D.
存在不全为零的实数 λ1\lambda_{1}，λ2\lambda_{2}，λ1a+λ2b=0\lambda_{1} \boldsymbol{a} + \lambda_{2} \boldsymbol{b} = 0

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲，乙，丙3 位3\text{ 位}志愿者安排在周一至周五的5 天5\text{ 天}中参加某项志愿者活动. 要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 先从 55 天中选出甲、乙、丙参加活动的三天，共有 C53=10\mathrm C_5^3=10 种选法. 对于选定的三天，甲必须排在乙、丙之前，所以甲只能占这三天中最早的一天，乙、丙还可以互换，有 22 种排法. 因而安排方法共有
C53×2=10×2=20\mathrm C_5^3\times2=10\times2=20
种，故选 A. \end{solution}
A.
20 种20\text{ 种}
B.
30 种30\text{ 种}
C.
40 种40\text{ 种}
D.
60 种60\text{ 种}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
由直线 x=12x = \frac{1}{2}，x=2x = 2，曲线 y=1xy = \frac{1}{x} 及 xx 轴所围图形的面积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 在区间 [12,2]\left[\frac12,2\right] 上，曲线 y=1xy=\frac1x 位于 xx 轴上方，所围面积为
S=∫1221x dx=ln⁡x∣122=ln⁡2−ln⁡12=2ln⁡2S=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x}\,\mathrm dx =\left.\ln x\right|_{\frac{1}{2}}^{2} =\ln2-\ln\frac12=2\ln2
故选 D. \end{solution}
A.
154\frac{15}{4}
B.
174\frac{17}{4}
C.
16ln⁡2\frac{1}{6}\ln 2
D.
2ln⁡22 \ln 2

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
已知向量 a=(0,−1,1)\boldsymbol{a} = (0, -1, 1)，b=(4,1,0)\boldsymbol{b} = (4, 1, 0)，∣λa+b∣=29|\lambda \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{29} 且 λ>0\lambda > 0，则 λ=\lambda =______. \begin{answer} 3 \end{answer}
\begin{solution} 由向量坐标，
λa+b=(4,1−λ,λ)\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left(4,1-\lambda,\lambda\right)
由长度条件得
16+(1−λ)2+λ2=2916+\left(1-\lambda\right)^2+\lambda^2=29
即 λ2−λ−6=0\lambda^2-\lambda-6=0，所以 λ=3\lambda=3 或 λ=−2\lambda=-2. 因为 λ>0\lambda>0，故 λ=3\lambda=3. \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16概率与统计★★☆☆☆
从甲，乙两品种的棉花中各抽测了 25 根25\text{ 根} 棉花的纤维长度（单位：mm\mathrm{mm}），结果如下：
\begin{array}{c} \hline 品种 & \multicolumn{5}{c}{纤维长度（单位：$\mathrm{mm}$）} \\ \hline 甲品种 & $271$ & $273$ & $280$ & $285$ & $285$ \\ & $287$ & $292$ & $294$ & $295$ & $301$ \\ & $303$ & $303$ & $307$ & $308$ & $310$ \\ & $314$ & $319$ & $323$ & $325$ & $325$ \\ & $328$ & $331$ & $334$ & $337$ & $352$ \\ \hline 乙品种 & $284$ & $292$ & $295$ & $304$ & $306$ \\ & $307$ & $312$ & $313$ & $315$ & $315$ \\ & $316$ & $318$ & $318$ & $320$ & $322$ \\ & $322$ & $324$ & $327$ & $329$ & $331$ \\ & $333$ & $336$ & $337$ & $343$ & $356$ \\ \hline \end{array}
由以上数据设计了如下茎叶图：
\begin{array}{c} \multicolumn{5}{c|}{甲} & & \multicolumn{7}{c}{乙} \\ \hline & & & $3$ & $1$ & $27$ & & & & & & & \\ & $7$ & $5$ & $5$ & $0$ & $28$ & $4$ & & & & & & \\ & & $5$ & $4$ & $2$ & $29$ & $2$ & $5$ & & & & & \\ $8$ & $7$ & $3$ & $3$ & $1$ & $30$ & $4$ & $6$ & $7$ & & & & \\ & & $9$ & $4$ & $0$ & $31$ & $2$ & $3$ & $5$ & $5$ & $6$ & $8$ & $8$ \\ & $8$ & $5$ & $5$ & $3$ & $32$ & $0$ & $2$ & $2$ & $4$ & $7$ & $9$ & \\ & & $7$ & $4$ & $1$ & $33$ & $1$ & $3$ & $6$ & $7$ & & & \\ & & & & & $34$ & $3$ & & & & & & \\ & & & & $2$ & $35$ & $6$ & & & & & & \\ \end{array}
根据以上茎叶图，对甲，乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ______； ② ______.
\begin{answer} 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. \end{answer}
\begin{solution} 由原始数据求和，甲、乙两品种的纤维长度总和分别为 76827682 和 79757975，故样本平均数分别为 xˉ甲=768225=307.28\bar x_{\text{甲}}=\frac{7682}{25}=307.28，xˉ乙=797525=319\bar x_{\text{乙}}=\frac{7975}{25}=319. 所以乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种. 再以极差衡量离散程度，甲、乙两品种的极差分别为 352−271=81352-271=81，356−284=72356-284=72. 因此甲品种棉花的纤维长度比乙品种的更分散. 例如可写出两个统计结论：乙品种的平均纤维长度较大；甲品种的纤维长度较分散. \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是一个等差数列，且 a2=1a_{2} = 1，a5=−5a_{5} = -5.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n}； (2) 求 {an}\{a_{n}\} 前 nn 项和 SnS_{n} 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列的公差为 dd，则 a2=a1+d=1a_2=a_1+d=1，a5=a1+4d=−5a_5=a_1+4d=-5. 两式相减得 3d=−63d=-6，所以 d=−2d=-2，再由 a1+d=1a_1+d=1 得 a1=3a_1=3. 因而
an=a1+(n−1)d=3−2(n−1)=5−2na_n=a_1+(n-1)d=3-2(n-1)=5-2n
\item 由等差数列前 nn 项和公式，
Sn=n(a1+an)2=n(3+5−2n)2=n(4−n)=4−(n−2)2S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\frac{n\left(3+5-2n\right)}{2}=n(4-n)=4-(n-2)^2
因为 nn 是正整数，(n−2)2≥0(n-2)^2\ge0，且当 n=2n=2 时取到最小值 00，所以 SnS_n 的最大值为 44，在 n=2n=2 时取得. \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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24不等式★★☆☆☆
已知函数 f(x)=∣x−8∣−∣x−4∣f(x) = |x - 8| - |x - 4|.
(1) 作出函数 y=f(x)y = f(x) 的图象； (2) 解不等式 ∣x−8∣−∣x−4∣>2|x - 8| - |x - 4| > 2.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 按绝对值定义分三种情况：
f(x)={(8−x)−(4−x)=4,x≤4,(8−x)−(x−4)=−2x+12,4<x≤8,(x−8)−(x−4)=−4,x>8.f(x)=\begin{cases} \left(8-x\right)-\left(4-x\right)=4,&x\le4,\\ \left(8-x\right)-\left(x-4\right)=-2x+12,&4<x\le8,\\ \left(x-8\right)-\left(x-4\right)=-4,&x>8. \end{cases}
所以函数图象由直线 y=4y=4 在 x≤4x\le4 上的部分、连接点 (4,4)\left(4,4\right) 与 (8,−4)\left(8,-4\right) 的线段 y=−2x+12y=-2x+12，以及直线 y=−4y=-4 在 x>8x>8 上的部分组成. 以 (4,4)\left(4,4\right)、(8,−4)\left(8,-4\right) 为转折点即可在题图坐标系中作出图象. \item 同样分情况讨论. 当 x≤4x\le4 时，f(x)=4>2f(x)=4>2，所以得到 x≤4x\le4. 当 4<x≤84<x\le8 时，
−2x+12>2⟺x<5-2x+12>2\Longleftrightarrow x<5
与本区间合并得 4<x<54<x<5. 当 x>8x>8 时，f(x)=−4f(x)=-4，不满足不等式. 因而解集为
(−∞,4]∪(4,5)=(−∞,5)\left(-\infty,4\right]\cup\left(4,5\right)=\left(-\infty,5\right)
\end{enumerate} \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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