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17数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是一个等差数列，且 a2=1a_{2} = 1，a5=−5a_{5} = -5.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n}； (2) 求 {an}\{a_{n}\} 前 nn 项和 SnS_{n} 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列的公差为 dd，则 a2=a1+d=1a_2=a_1+d=1，a5=a1+4d=−5a_5=a_1+4d=-5. 两式相减得 3d=−63d=-6，所以 d=−2d=-2，再由 a1+d=1a_1+d=1 得 a1=3a_1=3. 因而
an=a1+(n−1)d=3−2(n−1)=5−2na_n=a_1+(n-1)d=3-2(n-1)=5-2n
\item 由等差数列前 nn 项和公式，
Sn=n(a1+an)2=n(3+5−2n)2=n(4−n)=4−(n−2)2S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\frac{n\left(3+5-2n\right)}{2}=n(4-n)=4-(n-2)^2
因为 nn 是正整数，(n−2)2≥0(n-2)^2\ge0，且当 n=2n=2 时取到最小值 00，所以 SnS_n 的最大值为 44，在 n=2n=2 时取得. \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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