已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$，$a_{n} = 3^{n - 1} + a_{n - 1}$（$n \geqslant 2$）.

(1) 求 $a_{2}$，$a_{3}$. (2) 证明： $a_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，$a_{2}=3^{1}+a_{1}=3+1=4$，$a_{3}=3^{2}+a_{2}=9+4=13$.

\item 当 $n=1$ 时，$a_{1}=1=\frac{3-1}{2}$，结论成立.

假设当 $n=k$ 时结论成立，即 $a_{k}=\frac{3^{k}-1}{2}$. 则由递推关系 因此，当 $n=k+1$ 时结论也成立. 由数学归纳法，$a_{n}=\frac{3^{n}-1}{2}$ 对一切正整数 $n$ 成立. \end{enumerate} \end{solution}