根据如图所示的框图，对大于 2 的整数 $N$，输出的数列的通项公式是（ ）

\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 程序开始时 $S=1$，每次循环先计算 $a_i=2S$，再令 $S=a_i$，因此每次循环都使 $S$ 变为原来的 $2$ 倍. 第一次循环得到 $a_1=2=2^1$. 若第 $k$ 次循环前 $S=2^{k-1}$，则第 $k$ 次循环得到 $a_k=2S=2^k$. 由数学归纳法，输出数列的通项为 $a_n=2^n$. 因此选 C. \end{solution}

从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）

\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 任取 $2$ 个点共有 $\mathrm C_5^2=10$ 种等可能结果. 正方形的四条边对应的 $4$ 对顶点距离等于边长，两条对角线对应的 $2$ 对顶点距离大于边长；中心与任一顶点的距离为边长的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，不符合条件. 因此符合条件的有 $4+2=6$ 种，所求概率为 $P=\frac{6}{10}=\frac35$. 因此选 C. \end{solution}

原命题为“若 $\frac{a_n + a_{n+1}}{2} < a_n$，$n \in \mathbf{N}_+$，则 $\{a_n\}$ 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 记命题的前件为 $P$，后件为 $Q$，其中 $P$ 表示对任意 $n\in\mathbf N_+$ 有 $\frac{a_n+a_{n+1}}2<a_n$，$Q$ 表示数列 $\{a_n\}$ 为递减数列. 由 $\frac{a_n+a_{n+1}}2<a_n$ 可得 $a_{n+1}<a_n$，反过来也成立，所以 $P$ 与 $Q$ 等价. 因此原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真，所求判断为“真，真，真”，选 A. \end{solution}

某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 $x_{1}$，$x_{2}$，$\cdots$，$x_{10}$，其均值和方差分别为 $\overline{x}$ 和 $s^{2}$，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）

\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 下月工资记为 $x_i'=x_i+100$. 其均值为 又因为 $x_i'-\overline{x'}=x_i-\overline{x}$，所以方差为 因此选 D. \end{solution}

设 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$，向量 $\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)$，$\boldsymbol{b} = (1, -\cos \theta)$，若 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$，则 $\tan \theta =$______. \begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer} \begin{solution} 由向量数量积为零，得 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sin 2\theta-\cos^2\theta=0$. 利用 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，有 $\cos\theta(2\sin\theta-\cos\theta)=0$. 因为 $0<\theta<\frac\pi2$，所以 $\cos\theta>0$，从而 $2\sin\theta=\cos\theta$，即 $\tan\theta=\frac12$. \end{solution}

在极坐标系中，点 $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ 到直线 $\rho \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) = 1$ 的距离是______. \begin{answer} $1$ \end{answer} \begin{solution} 由极坐标与直角坐标的关系 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，直线方程化为 $\rho\left(\sin\theta\cos\frac\pi6-\cos\theta\sin\frac\pi6\right)=1$，即 $\frac{\sqrt3}{2}y-\frac12x=1$，从而 $\sqrt3y-x=2$. 点 $\left(2,\frac\pi6\right)$ 的直角坐标为 $(\sqrt3,1)$. 因此点到直线 $x-\sqrt3y+2=0$ 的距离为 $d=\frac{|\sqrt3-\sqrt3+2|}{\sqrt{1+3}}=1$. \end{solution}