设 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$，向量 $\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)$，$\boldsymbol{b} = (1, -\cos \theta)$，若 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$，则 $\tan \theta =$______. \begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer} \begin{solution} 由向量数量积为零，得 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sin 2\theta-\cos^2\theta=0$. 利用 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，有 $\cos\theta(2\sin\theta-\cos\theta)=0$. 因为 $0<\theta<\frac\pi2$，所以 $\cos\theta>0$，从而 $2\sin\theta=\cos\theta$，即 $\tan\theta=\frac12$. \end{solution}