设函数 $f(x)=\sin \omega x$（$\omega>0$）. 已知 $f(x_1)=-1$，$f(x_2)=1$，且 $\lvert x_1-x_2\rvert$ 的最小值为 $\frac{\pi}{2}$，则 $\omega=$（ ）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 $Ox$ 为始边，它们的终边关于原点对称. 若 $\alpha\in \left[ \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3} \right]$，则 $\cos \beta$ 的最大值为______.