设 $\alpha = \frac{4\pi}{3}$，则 $\arccos\left(\cos\alpha\right)$ 的值是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 反余弦函数的值域为 $[0,\pi]$. 因为 $\cos\frac{4\pi}{3}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$，所以 $\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}$，故选 C. \end{solution}

(1) 在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程 $y = -\sqrt{x}$，$x = \sqrt{-y}$ 的图形，并写出它们交点的坐标. (2) 在极坐标系内，方程 $\rho = 5\cos \theta$ 表示什么曲线？画出它的图形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对于 $y=-\sqrt{x}$，有 $x\geqslant0$，$y\leqslant0$，平方得 $x=y^{2}$，所以它是抛物线 $x=y^{2}$ 的下半支. 对于 $x=\sqrt{-y}$，有 $x\geqslant0$，$y\leqslant0$，平方得 $y=-x^{2}$，所以它是抛物线 $y=-x^{2}$ 的右半支.

令两式同时成立，则 $y=-\sqrt{x}$，$y=-x^{2}$. 由 $\sqrt{x}=x^{2}$ 且 $x\geqslant0$，令 $u=\sqrt{x}\geqslant0$，则 $u=u^{4}$，即 $u(u^{3}-1)=0$，所以 $u=0$ 或 $u=1$，从而 $x=0$ 或 $x=1$，相应地 $y=0$ 或 $y=-1$. 因此交点为 $(0,0)$ 和 $(1,-1)$. \item 将极坐标关系 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$ 代入，并乘以 $\rho$，得 所以 该曲线是圆心为 $\left(\frac{5}{2},0\right)$、半径为 $\frac{5}{2}$ 的圆，经过 $(0,0)$ 和 $(5,0)$，图形据此作出. \end{enumerate} \end{solution}

(1) 已知 $y = \mathrm{e}^{-x}\sin 2x$，求微分 $\mathrm{d}y$. (2) 一个小组共有 $10$ 名同学，其中 $4$ 名是女同学，$6$ 名是男同学. 要从小组内选出 $3$ 名代表，其中至少有 $1$ 名女同学，求一共有多少种选法.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由乘积求导法则， 因此 $\mathrm{d}y=\mathrm{e}^{-x}\left(2\cos 2x-\sin 2x\right)\mathrm{d}x$. \item 按女同学人数分类. 恰有 $1$ 名女同学时有 $\mathrm C_{4}^{1}\mathrm C_{6}^{2}=4\times15=60$ 种；恰有 $2$ 名女同学时有 $\mathrm C_{4}^{2}\mathrm C_{6}^{1}=6\times6=36$ 种；$3$ 名均为女同学时有 $\mathrm C_{4}^{3}=4$ 种. 所以共有 $60+36+4=100$ 种选法. \end{enumerate} \end{solution}