已知等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=3$，前 $3$ 项和 $S_3=\frac{13}{3}$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 若函数 $f(x)=A\sin\left(2x+\varphi\right)$（$A>0$，$0<\varphi<\pi$）在 $x=\frac{\pi}{6}$ 处取得最大值，且最大值为 $a_3$，求函数 $f(x)$ 的解析式.