在同一平面直角坐标系中，函数 $y = g(x)$ 的图象与 $y = \mathrm{e}^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称. 而函数 $y = f(x)$ 的图象与 $y = g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称. 若 $f(m) = -1$，则 $m$ 的值是（ ）

函数 $f(x) = \frac{\sqrt{|x - 2| - 1}}{\log_2(x - 1)}$ 的定义域为______.