如果奇函数 $f(x)$ 在区间 $[3,7]$ 上是增函数且最小值为 $5$，那么 $f(x)$ 在区间 $[-7,-3]$ 上是（$\quad$）

\begin{solution} 任取 $x_1$，$x_2\in[-7,-3]$，令 $t_1=-x_1$、$t_2=-x_2$，则 $t_1$，$t_2\in[3,7]$. 当 $x_1<x_2$ 时，$t_1>t_2$. 因为 $f$ 在 $[3,7]$ 上递增，所以 $f(t_1)>f(t_2)$，再由奇函数性质得 $f(x_1)=-f(t_1)<-f(t_2)=f(x_2)$. 因此 $f$ 在 $[-7,-3]$ 上递增. 又因为 $f$ 在 $[3,7]$ 上递增，所以其最小值在 $x=3$ 处取得，即 $f(3)=5$，从而 $f(-3)=-f(3)=-5$. 因此 $f$ 在 $[-7,-3]$ 上的最大值为 $-5$，选 B. \end{solution}

根据函数单调性的定义，证明函数 $f(x)=-x^3+1$ 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上是减函数.

\begin{solution} 任取 $x_1$，$x_2\in\left(-\infty,+\infty\right)$，且 $x_1<x_2$. 则 其中 $x_2-x_1>0$. 另一方面， 且等号成立当且仅当 $x_1=x_2=0$，这与 $x_1<x_2$ 矛盾，所以 $x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0$. 因此 $f(x_2)-f(x_1)<0$，即 $f(x_1)>f(x_2)$. 根据函数单调性的定义，函数 $f(x)=-x^3+1$ 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上是减函数. \end{solution}