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04不等式★★☆☆☆
已知点 P(x,y)P(x, y) 在不等式组
{x−2⩽0,y−1⩽0,x+2y−2⩾0\begin{cases} x - 2 \leqslant 0,\\ y - 1 \leqslant 0,\\ x + 2y - 2 \geqslant 0 \end{cases}
表示的平面区域上运动，则 z=x−yz = x - y 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 x+2y−2⩾0x+2y-2\geqslant0 得 x⩾2−2yx\geqslant2-2y，再结合 x⩽2x\leqslant2，可知 y⩾0y\geqslant0. 因而区域可写为 0⩽y⩽10\leqslant y\leqslant1，2−2y⩽x⩽22-2y\leqslant x\leqslant2. 对固定的 yy，有 2−3y⩽x−y⩽2−y2-3y\leqslant x-y\leqslant2-y. 当 0⩽y⩽10\leqslant y\leqslant1 时，左端的最小值为 −1-1，右端的最大值为 22，所以 zz 不超出 [−1,2][-1,2]. 又边界线段 x=2−2yx=2-2y，0⩽y⩽10\leqslant y\leqslant1 完全位于该区域内，且其上 z=2−3yz=2-3y 连续取得从 −1-1 到 22 的所有值，故 zz 的取值范围为 [−1,2][-1,2]，选 C. \end{solution}
A.
[−2,−1][-2, -1]
B.
[−2,1][-2, 1]
C.
[−1,2][-1, 2]
D.
[1,2][1, 2]

2005 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，OO 是底面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的中心，则 OO 到平面 ABC1D1ABC_{1}D_{1} 的距离为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 建立直角坐标系，取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)、B=(1,0,0)B=(1,0,0)、C1=(1,1,1)C_1=(1,1,1)、D1=(0,1,1)D_1=(0,1,1)，则正方形 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 的中心为 O=(12,12,1)O=\left(\frac12,\frac12,1\right). 平面 ABC1D1ABC_1D_1 的方程为 z−y=0z-y=0，所以
d=∣1−12∣(−1)2+12=24d=\frac{\left|1-\frac12\right|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}
故选 B. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2005 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
设 f0(x)=sin⁡xf_0(x) = \sin x，f1(x)=f0′(x)f_1(x) = f_0'(x)，f2(x)=f1′(x)f_2(x) = f_1'(x)，⋯\cdots，fn+1(x)=fn′(x)f_{n+1}(x) = f_n'(x)，n∈Nn \in \mathbf{N}，则 f2005(x)=f_{2005}(x) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 连续求导得到 f0(x)=sin⁡xf_0(x)=\sin x、f1(x)=cos⁡xf_1(x)=\cos x、f2(x)=−sin⁡xf_2(x)=-\sin x、f3(x)=−cos⁡xf_3(x)=-\cos x、f4(x)=sin⁡xf_4(x)=\sin x，以后每四次循环一次. 由于 2005=4×501+12005=4\times501+1，所以 f2005(x)=f1(x)=cos⁡xf_{2005}(x)=f_1(x)=\cos x，故选 C. \end{solution}
A.
sin⁡x\sin x
B.
−sin⁡x-\sin x
C.
cos⁡x\cos x
D.
−cos⁡x-\cos x

2005 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11概率与统计★★☆☆☆
一工厂生产了某种产品 1680016800 件，它们来自甲、乙、丙 33 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了______件产品.
\begin{answer} 56005600 \end{answer}
\begin{solution} 分层抽样按各生产线产品总数的比例抽取，所以三条生产线的产品总数与抽取的个体数成相同比例. 因而三条生产线的产品总数也组成等差数列. 设三条生产线的产品总数为 N1N_1，N2N_2，N3N_3，则 N2N_2 是三项等差数列的中项，满足
N1+N2+N3=3N2N_1+N_2+N_3=3N_2
又 N1+N2+N3=16800N_1+N_2+N_3=16800，所以 N2=5600N_2=5600. \end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)6(1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^6 的展开式中，x2x^2 项的系数是______.（用数字作答）
\begin{answer} 3535 \end{answer}
\begin{solution} 在 (1+x)k(1+x)^k 中，x2x^2 的系数为 Ck2\mathrm C_k^2，所以所求系数为
∑k=26Ck2=C73=35\sum_{k=2}^{6}\mathrm C_k^2=\mathrm C_7^3=35
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=3|AB| = \sqrt{3}，则 OA→⋅OB→=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =______.
\begin{answer} −12-\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 θ=∠AOB\theta=\angle AOB. 由 ∣OA∣=∣OB∣=1|OA|=|OB|=1 及弦长公式，
∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=2−2cos⁡θ|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2-2|OA||OB|\cos\theta=2-2\cos\theta
代入 ∣AB∣2=3|AB|^2=3，得 cos⁡θ=−12\cos\theta=-\frac12. 因此
OA→⋅OB→=∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=−12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|OA||OB|\cos\theta=-\frac12
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 的图象关于点 (1,2)(1,2) 对称，且存在反函数 f−1(x)f^{-1}(x)，f(4)=0f(4) = 0，则 f−1(4)=f^{-1}(4) =______.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 图象关于点 (1,2)(1,2) 对称，意味着图象上的点 (x,y)(x,y) 关于该点的对称点 (2−x,4−y)(2-x,4-y) 仍在图象上. 因为 f(4)=0f(4)=0，所以 (4,0)(4,0) 在图象上，其对称点 (−2,4)(-2,4) 也在图象上，即 f(−2)=4f(-2)=4. 由于反函数存在，故 f−1(4)=−2f^{-1}(4)=-2. \end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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