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13解析几何★★☆☆☆
已知直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=3|AB| = \sqrt{3}，则 OA→⋅OB→=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =______.
\begin{answer} −12-\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 θ=∠AOB\theta=\angle AOB. 由 ∣OA∣=∣OB∣=1|OA|=|OB|=1 及弦长公式，
∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=2−2cos⁡θ|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2-2|OA||OB|\cos\theta=2-2\cos\theta
代入 ∣AB∣2=3|AB|^2=3，得 cos⁡θ=−12\cos\theta=-\frac12. 因此
OA→⋅OB→=∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=−12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|OA||OB|\cos\theta=-\frac12
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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