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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+2x)8\left(x^{2} + \frac{2}{x}\right)^{8} 的展开式中 x4x^{4} 的系数是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为从 8 个因式中选 kk 个取 2x\frac{2}{x}，其余取 x2x^{2}，即
C8k(x2)8−k(2x)k=C8k2kx16−3k\mathrm C_{8}^{k}(x^{2})^{8-k}\left(\frac{2}{x}\right)^{k} =\mathrm C_{8}^{k}2^{k}x^{16-3k}
要得到 x4x^{4}，必须有 16−3k=416-3k=4，故 k=4k=4. 所求系数为
C8424=70×16=1120\mathrm C_{8}^{4}2^{4}=70\times16=1120
因此选 D. \end{solution}
A.
16
B.
70
C.
560
D.
1120

2009 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=6|\boldsymbol{b}| = 6，a⋅(b−a)=2\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = 2，则向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由条件
a⋅(b−a)=a⋅b−∣a∣2=2\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{a}|^{2}=2
得 a⋅b=3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3. 设 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，则
cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣=31×6=12\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} =\frac{3}{1\times6}=\frac12
由于 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi，所以 θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}，选 C. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2009 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知 lim⁡x→∞(2x2x+1−ax−b)=2\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2}{x + 1} -ax - b\right) = 2，其中 aa，b∈Rb\in \mathbf{R}，则 a−ba - b 的值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 作除法可得
2x2x+1=2x−2+2x+1\frac{2x^{2}}{x+1}=2x-2+\frac{2}{x+1}
因此
2x2x+1−ax−b=(2−a)x−(2+b)+2x+1\frac{2x^{2}}{x+1}-ax-b =(2-a)x-(2+b)+\frac{2}{x+1}
极限为有限值，必须有 a=2a=2. 此时极限为 −2−b-2-b，由题设
−2−b=2-2-b=2
得 b=−4b=-4. 所以 a−b=2−(−4)=6a-b=2-(-4)=6，选 D. \end{solution}
A.
−6-6
B.
−2-2
C.
2
D.
6

2009 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=12x−1+af(x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + a 是奇函数，则 a=a =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 函数定义域为所有 x≠0x\ne0 的实数，且对任意 x≠0x\ne0，
f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+af(-x)=\frac{1}{2^{-x}-1}+a =\frac{2^x}{1-2^x}+a
所以
f(x)+f(−x)=12x−1+2x1−2x+2a=−1+2af(x)+f(-x) =\frac{1}{2^x-1}+\frac{2^x}{1-2^x}+2a =-1+2a
函数为奇函数当且仅当上式恒为 0，故 a=12a=\frac{1}{2}. \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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