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03
计数原理与组合数学
★★☆☆☆
(
x
2
+
2
x
)
8
\left(x^{2} + \frac{2}{x}\right)^{8}
(
x
2
+
x
2
)
8
的展开式中
x
4
x^{4}
x
4
的系数是( )
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为从 8 个因式中选
k
k
k
个取
2
x
\frac{2}{x}
x
2
,其余取
x
2
x^{2}
x
2
,即
C
8
k
(
x
2
)
8
−
k
(
2
x
)
k
=
C
8
k
2
k
x
16
−
3
k
\mathrm C_{8}^{k}(x^{2})^{8-k}\left(\frac{2}{x}\right)^{k} =\mathrm C_{8}^{k}2^{k}x^{16-3k}
C
8
k
(
x
2
)
8
−
k
(
x
2
)
k
=
C
8
k
2
k
x
16
−
3
k
要得到
x
4
x^{4}
x
4
,必须有
16
−
3
k
=
4
16-3k=4
16
−
3
k
=
4
,故
k
=
4
k=4
k
=
4
. 所求系数为
C
8
4
2
4
=
70
×
16
=
1120
\mathrm C_{8}^{4}2^{4}=70\times16=1120
C
8
4
2
4
=
70
×
16
=
1120
因此选 D. \end{solution}
A.
16
B.
70
C.
560
D.
1120
2009 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题
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