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04平面向量★★☆☆☆
已知 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=6|\boldsymbol{b}| = 6，a⋅(b−a)=2\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = 2，则向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由条件
a⋅(b−a)=a⋅b−∣a∣2=2\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{a}|^{2}=2
得 a⋅b=3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3. 设 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，则
cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣=31×6=12\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} =\frac{3}{1\times6}=\frac12
由于 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi，所以 θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}，选 C. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2009 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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