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21
平面向量
★★☆☆☆
已知矩阵
M
=
(
2
−
3
1
−
1
)
M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
M
=
(
2
1
−
3
−
1
)
所对应的线性变换把点
A
(
x
,
y
)
A(x, y)
A
(
x
,
y
)
变成点
A
′
(
13
,
5
)
A'(13, 5)
A
′
(
13
,
5
)
，试求
M
M
M
的逆矩阵及点
A
A
A
的坐标.
\begin{solution} 矩阵
M
M
M
的行列式为
det
M
=
2
×
(
−
1
)
−
(
−
3
)
×
1
=
1
≠
0
\det M=2\times(-1)-(-3)\times1=1\neq0
det
M
=
2
×
(
−
1
)
−
(
−
3
)
×
1
=
1
=
0
，所以
M
M
M
可逆，且
M
−
1
=
1
det
M
(
−
1
3
−
1
2
)
=
(
−
1
3
−
1
2
)
M^{-1}=\frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}
M
−
1
=
det
M
1
(
−
1
−
1
3
2
)
=
(
−
1
−
1
3
2
)
由线性变换关系
M
(
x
y
)
=
(
13
5
)
M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}
M
(
x
y
)
=
(
13
5
)
得
(
x
y
)
=
M
−
1
(
13
5
)
=
(
−
1
3
−
1
2
)
(
13
5
)
=
(
2
−
3
)
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}
(
x
y
)
=
M
−
1
(
13
5
)
=
(
−
1
−
1
3
2
)
(
13
5
)
=
(
2
−
3
)
因此
A
=
(
2
,
−
3
)
A=(2,-3)
A
=
(
2
,
−
3
)
. \end{solution}
2009 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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