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03三角函数★★☆☆☆
设 a=sin⁡33∘a = \sin 33^{\circ}，b=cos⁡55∘b = \cos 55^{\circ}，c=tan⁡35∘c = \tan 35^{\circ}，则（ ）
\begin{solution} 由诱导公式，b=cos⁡55∘=sin⁡35∘b=\cos55^{\circ}=\sin35^{\circ}. 因为正弦函数在 (0∘,90∘)\left(0^{\circ},90^{\circ}\right) 上递增，且 33∘<35∘33^{\circ}<35^{\circ}，所以 a<ba<b. 又 0<cos⁡35∘<10<\cos35^{\circ}<1，故
c=tan⁡35∘=sin⁡35∘cos⁡35∘>sin⁡35∘=bc=\tan35^{\circ}=\frac{\sin35^{\circ}}{\cos35^{\circ}}>\sin35^{\circ}=b
因此 c>b>ac>b>a，故选 C. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>c>ab > c > a
C.
c>b>ac > b > a
D.
c>a>bc > a > b

2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足：∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，(a+b)⊥a(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}，(2a+b)⊥b(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}| =（ ）
\begin{solution} 由 (a+b)⊥a(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}，有
0=(a+b)⋅a=∣a∣2+a⋅b=1+a⋅b0=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} =1+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}
所以 a⋅b=−1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1. 再由 (2a+b)⊥b(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}，得
0=(2a+b)⋅b=2a⋅b+∣b∣2=−2+∣b∣20=(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^{2} =-2+|\boldsymbol{b}|^{2}
因此 ∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}，故选 B. \end{solution}
A.
22
B.
2\sqrt{2}
C.
11
D.
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_{1}，F2F_{2}，离心率为 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}，过 F2F_{2} 的直线 ll 交 CC 于 AA，BB 两点，若 △AF1B\triangle AF_{1}B 的周长为 434\sqrt{3}，则 CC 的方程为（ ）
\begin{solution} 设椭圆的焦距的一半为 cc. 由离心率 ca=33\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}，得 c=a3c=\frac{a}{\sqrt{3}}，b2=a2−c2=2a23b^{2}=a^{2}-c^{2}=\frac{2a^{2}}{3}. 焦点 F2F_{2} 在椭圆内部，故过 F2F_{2} 的弦的两个端点满足 F2F_{2} 在线段 ABAB 上，从而 AB=AF2+BF2AB=AF_{2}+BF_{2}. 由椭圆的定义， AF1+AF2=2aAF_{1}+AF_{2}=2a，BF1+BF2=2aBF_{1}+BF_{2}=2a. 于是
AF1+AB+BF1=4aAF_{1}+AB+BF_{1}=4a
由三角形周长为 434\sqrt{3}，得 a=3a=\sqrt{3}，进而 c=1c=1，b2=2b^{2}=2. 所以椭圆方程为
x23+y22=1\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1
故选 A. \end{solution}
A.
x23+y22=1\dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{2}=1
B.
x23+y2=1\dfrac{x^{2}}{3}+y^{2}=1
C.
x212+y28=1\dfrac{x^{2}}{12}+\dfrac{y^{2}}{8}=1
D.
x212+y24=1\dfrac{x^{2}}{12}+\dfrac{y^{2}}{4}=1

2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a4=2a_{4}=2，a5=5a_{5}=5，则数列 {lg⁡an}\{\lg a_{n}\} 的前 88 项和等于（ ）
\begin{solution} 设 un=lg⁡anu_{n}=\lg a_{n}. 等比数列的公比为 q=a5a4=52q=\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=\dfrac52，故 {un}\{u_{n}\} 是等差数列. 对称项的和相等，因此
∑n=18un=4(u1+u8)=4(u4+u5)\sum_{n=1}^{8}u_{n}=4(u_{1}+u_{8})=4(u_{4}+u_{5})
又 u4=lg⁡2u_{4}=\lg2，u5=lg⁡5u_{5}=\lg5，所以
∑n=18lg⁡an=4lg⁡(2×5)=4\sum_{n=1}^{8}\lg a_{n}=4\lg(2\times5)=4
故选 C. \end{solution}
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3

2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(xy−yx)8\left(\dfrac{x}{\sqrt{y}}-\dfrac{y}{\sqrt{x}}\right)^{8} 的展开式中 x2y2x^{2}y^{2} 的系数为______.
\begin{solution} 通项中取第二项 kk 次，所得项为
(−1)kC8kx8−k−k2y−8−k2+k=(−1)kC8kx8−32ky−4+32k(-1)^{k}\mathrm C_{8}^{k} x^{8-k-\frac{k}{2}}y^{-\frac{8-k}{2}+k} =(-1)^{k}\mathrm C_{8}^{k}x^{8-\frac32k}y^{-4+\frac32k}
要得到 x2y2x^{2}y^{2}，需满足 8−32k=28-\dfrac32k=2，解得 k=4k=4，此时符号为正. 所以所求系数为
C84=70\mathrm C_{8}^{4}=70
\end{solution}

2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾0,x+2y⩽3,x−2y⩽1,\begin{cases} x-y\geqslant 0,\\ x+2y\leqslant 3,\\ x-2y\leqslant 1, \end{cases}
则 z=x+4yz=x+4y 的最大值为______.
\begin{solution} 三个约束边界的交点分别为 y=xy=x， x−2y=1⟹(−1,−1)\ x-2y=1\Longrightarrow(-1,-1)， y=xy=x， x+2y=3⟹(1,1)\ x+2y=3\Longrightarrow(1,1)，以及 x+2y=3x+2y=3， x−2y=1⟹(2,12)\ x-2y=1\Longrightarrow\left(2,\frac12\right). 这三个点均满足其余约束，构成可行域的三个顶点；线性目标函数在该多边形上的最大值必在顶点处取得. 在顶点处计算 z=x+4yz=x+4y，分别得到 −5-5，55，44. 因而最大值为 55. \end{solution}

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