已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$） 的左，右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，若 $\triangle AF_{1}B$ 的周长为 $4\sqrt{3}$，则 $C$ 的方程为（ ）

\begin{solution} 设椭圆的焦距的一半为 $c$. 由离心率 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，得 $c=\frac{a}{\sqrt{3}}$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=\frac{2a^{2}}{3}$. 焦点 $F_{2}$ 在椭圆内部，故过 $F_{2}$ 的弦的两个端点满足 $F_{2}$ 在线段 $AB$ 上，从而 $AB=AF_{2}+BF_{2}$. 由椭圆的定义， $AF_{1}+AF_{2}=2a$，$BF_{1}+BF_{2}=2a$. 于是 由三角形周长为 $4\sqrt{3}$，得 $a=\sqrt{3}$，进而 $c=1$，$b^{2}=2$. 所以椭圆方程为 故选 A. \end{solution}