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13
计数原理与组合数学
★★☆☆☆
(
x
y
−
y
x
)
8
\left(\dfrac{x}{\sqrt{y}}-\dfrac{y}{\sqrt{x}}\right)^{8}
(
y
x
−
x
y
)
8
的展开式中
x
2
y
2
x^{2}y^{2}
x
2
y
2
的系数为______.
\begin{solution} 通项中取第二项
k
k
k
次，所得项为
(
−
1
)
k
C
8
k
x
8
−
k
−
k
2
y
−
8
−
k
2
+
k
=
(
−
1
)
k
C
8
k
x
8
−
3
2
k
y
−
4
+
3
2
k
(-1)^{k}\mathrm C_{8}^{k} x^{8-k-\frac{k}{2}}y^{-\frac{8-k}{2}+k} =(-1)^{k}\mathrm C_{8}^{k}x^{8-\frac32k}y^{-4+\frac32k}
(
−
1
)
k
C
8
k
x
8
−
k
−
2
k
y
−
2
8
−
k
+
k
=
(
−
1
)
k
C
8
k
x
8
−
2
3
k
y
−
4
+
2
3
k
要得到
x
2
y
2
x^{2}y^{2}
x
2
y
2
，需满足
8
−
3
2
k
=
2
8-\dfrac32k=2
8
−
2
3
k
=
2
，解得
k
=
4
k=4
k
=
4
，此时符号为正. 所以所求系数为
C
8
4
=
70
\mathrm C_{8}^{4}=70
C
8
4
=
70
\end{solution}
2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题
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