设 $x$，$y$ 满足约束条件 则 $z=x+4y$ 的最大值为______.

\begin{solution} 三个约束边界的交点分别为 $y=x$，$\ x-2y=1\Longrightarrow(-1,-1)$， $y=x$，$\ x+2y=3\Longrightarrow(1,1)$，以及 $x+2y=3$，$\ x-2y=1\Longrightarrow\left(2,\frac12\right)$. 这三个点均满足其余约束，构成可行域的三个顶点；线性目标函数在该多边形上的最大值必在顶点处取得. 在顶点处计算 $z=x+4y$，分别得到 $-5$，$5$，$4$. 因而最大值为 $5$. \end{solution}