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03函数与初等函数★★☆☆☆
设
f(x)={∣x−1∣−2,∣x∣⩽1,11+x2,∣x∣>1,f(x)=\begin{cases} |x-1|-2, & |x|\leqslant1,\\ \dfrac{1}{1+x^{2}}, & |x|>1, \end{cases}
则 f[f(12)]=f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]=（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 ∣12∣⩽1\left|\frac{1}{2}\right|\leqslant1，所以应使用分段函数的第一段，得
f(12)=∣12−1∣−2=−32f\left(\frac{1}{2}\right)=\left|\frac{1}{2}-1\right|-2=-\frac{3}{2}
又因为 ∣−32∣>1\left|-\frac{3}{2}\right|>1，所以计算外层函数值时应使用第二段，得
f[f(12)]=f(−32)=11+(−32)2=413f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right] =f\left(-\frac{3}{2}\right) =\frac{1}{1+\left(-\frac{3}{2}\right)^2} =\frac{4}{13}
故选 B. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
413\frac{4}{13}
C.
−95-\frac{9}{5}
D.
2541\frac{25}{41}

2005 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8(1 - x)^{5} + (1 - x)^{6} + (1 - x)^{7} + (1 - x)^{8} 的展开式中，含 x3x^{3} 的项的系数是（\quad）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由二项式定理，(1−x)j(1-x)^j 中 x3x^3 的系数为 Cj3(−1)3=−Cj3\mathrm C_j^3(-1)^3=-\mathrm C_j^3. 因此原式中 x3x^3 的系数为
−[C53+C63+C73+C83]=−(10+20+35+56)=−121-\left[\mathrm C_5^3+\mathrm C_6^3+\mathrm C_7^3+\mathrm C_8^3\right] =-(10+20+35+56)=-121
故选 D. \end{solution}
A.
7474
B.
121121
C.
−74-74
D.
−121-121

2005 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 f(n)=2n+1f(n) = 2n + 1（n∈Nn \in \mathbf{N}），P={1,2,3,4,5}P = \{1, 2, 3, 4, 5\}，Q={3,4,5,6,7}Q = \{3, 4, 5, 6, 7\}，记 P^={n∈N∣f(n)∈P}\hat{P} = \{n \in \mathbf{N} \mid f(n) \in P\}，Q^={n∈N∣f(n)∈Q}\hat{Q} = \{n \in \mathbf{N} \mid f(n) \in Q\}，则 (P^∩∁NQ^)∪(Q^∩∁NP^)=\left(\hat{P} \cap \complement_{\mathbf{N}} \hat{Q}\right) \cup \left(\hat{Q} \cap \complement_{\mathbf{N}} \hat{P}\right) =（\quad）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 f(n)=2n+1f(n)=2n+1 以及 0∈N0\in\mathbf{N}，可得
P^={n∈N∣2n+1∈{1,2,3,4,5}}={0,1,2}\hat P=\{n\in\mathbf{N}\mid 2n+1\in\{1,2,3,4,5\}\}=\{0,1,2\}
Q^={n∈N∣2n+1∈{3,4,5,6,7}}={1,2,3}\hat Q=\{n\in\mathbf{N}\mid 2n+1\in\{3,4,5,6,7\}\}=\{1,2,3\}
因此 P^∩∁NQ^={0}\hat P\cap\complement_{\mathbf{N}}\hat Q=\{0\}，Q^∩∁NP^={3}\hat Q\cap\complement_{\mathbf{N}}\hat P=\{3\}， 从而所求集合为 {0,3}\{0,3\}，选 A. \end{solution}
A.
{0,3}\{0, 3\}
B.
{1,2}\{1, 2\}
C.
{3,4,5}\{3, 4, 5\}
D.
{1,2,6,7}\{1, 2, 6, 7\}

2005 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=xx+2y = \frac{x}{x + 2}（x∈Rx \in \mathbf{R}，且 x≠−2x \neq -2）的反函数是______.
\begin{answer} y=21−xy=\frac{2}{1-x}，x∈Rx\in\mathbf{R}，且 x≠1x\neq1 \end{answer}
\begin{solution} 由 y=xx+2y=\dfrac{x}{x+2} 得 y(x+2)=xy(x+2)=x，⟹\Longrightarrow，x(y−1)=−2x(y-1)=-2. 由于原函数的值域为 R∖{1}\mathbf{R}\setminus\{1\}，所以 y≠1y\ne1，从而
x=21−yx=\frac{2}{1-y}
交换 xx，yy 得反函数 y=21−xy=\frac{2}{1-x}，x∈Rx\in\mathbf{R}， x≠1\ x\ne1. \end{solution}

2005 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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