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03立体几何初步★★☆☆☆
设 mm，nn 是两条不同的直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
① 若 m⊥αm\perp\alpha，n∥αn\parallel\alpha，则 m⊥nm\perp n； ② 若 α∥β\alpha\parallel\beta，β∥γ\beta\parallel\gamma，m⊥αm\perp\alpha，则 m⊥γm\perp\gamma； ③ 若 m∥αm\parallel\alpha，n∥αn\parallel\alpha，则 m∥nm\parallel n； ④ 若 α⊥γ\alpha\perp\gamma，β⊥γ\beta\perp\gamma，则 α∥β\alpha\parallel\beta.
其中正确命题的序号是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 若 m⊥αm\perp\alpha，则 mm 垂直于平面 α\alpha 内的任意直线；而 n∥αn\parallel\alpha 表示 nn 的方向与平面 α\alpha 内某条直线的方向相同，因此 m⊥nm\perp n，第一个命题正确.
由 α∥β\alpha\parallel\beta，β∥γ\beta\parallel\gamma 及三个平面互不重合，得 α∥γ\alpha\parallel\gamma. 平行平面的法向方向相同，所以 m⊥αm\perp\alpha 时也有 m⊥γm\perp\gamma，第二个命题正确.
第三个命题不正确：在一个与 α\alpha 平行的平面内取两条相交直线 mm，nn，它们都平行于 α\alpha，但彼此不平行. 第四个命题也不正确：两个互相垂直于同一平面的平面可以相交，例如两个不同的竖直平面都垂直于水平面. 因而正确命题为第一和第二个，选 A. \end{solution}
A.
①和②
B.
②和③
C.
③和④
D.
①和④

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc 满足 c<b<ac<b<a 且 ac<0ac<0，那么下列选项中一定成立的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 c<b<ac<b<a 且 ac<0ac<0 可知 aa 与 cc 异号. 若 a<0a<0，则 c<b<a<0c<b<a<0，从而 c<0c<0，这将导致 ac>0ac>0，矛盾. 所以 a>0a>0，进而 c<0c<0.
因为 b>cb>c 且 a>0a>0，所以 ab>acab>ac，选项 A 一定成立. 另外，c<0c<0，b−a<0b-a<0，故 c(b−a)>0c(b-a)>0，B 不成立；由 b2⩾0b^{2}\geqslant0 只能得到 cb2⩽ab2cb^{2}\leqslant ab^{2}，当 b=0b=0 时等号成立，C 不一定成立；最后 ac<0ac<0，a−c>0a-c>0，所以 ac(a−c)<0ac(a-c)<0，D 不成立. 因此选 A. \end{solution}
A.
ab>acab>ac
B.
c(b−a)<0c(b-a)<0
C.
cb2<ab2cb^{2}<ab^{2}
D.
ac(a−c)>0ac(a-c)>0

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x2−2ax−3f(x)=x^{2}-2ax-3 在区间 [1,2][1,2] 上存在反函数的充分必要条件是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 函数可写为 f(x)=(x−a)2−a2−3f(x)=(x-a)^{2}-a^{2}-3，其对称轴为 x=ax=a. 二次函数在闭区间 [1,2][1,2] 上存在反函数，当且仅当它在该区间上具有单调性，也就是对称轴不在区间内部.
当 a⩽1a\leqslant1 时，f′(x)=2(x−a)⩾0f'(x)=2(x-a)\geqslant0（除端点外为正），函数在 [1,2][1,2] 上严格递增；当 a⩾2a\geqslant2 时，f′(x)⩽0f'(x)\leqslant0（除端点外为负），函数在 [1,2][1,2] 上严格递减. 若 1<a<21<a<2，取足够小的 t>0t>0，使 a−ta-t，a+t∈[1,2]a+t\in[1,2]，则 f(a−t)=f(a+t)f(a-t)=f(a+t)，函数不具有单调性，也不可能有反函数. 所以 a∈(−∞,1]∪[2,+∞)a\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty)，选 C. \end{solution}
A.
a∈(−∞,1]a\in(-\infty,1]
B.
a∈[2,+∞)a\in[2,+\infty)
C.
a∈(−∞,1]∪[2,+∞)a\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty)
D.
a∈[1,2]a\in[1,2]

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 lg⁡(x2+2)=lg⁡x+lg⁡3\lg(x^{2}+2)=\lg x+\lg 3 的解是______. \begin{answer} x=1x=1，22 \end{answer}
\begin{solution} 对数有意义要求 x>0x>0，此时 x2+2>0x^{2}+2>0 且 3>03>0. 由对数的运算性质，原方程等价于 lg⁡x2+23x=0\lg\dfrac{x^{2}+2}{3x}=0，所以 x2+23x=1\dfrac{x^{2}+2}{3x}=1. 因为 x>0x>0，分母不为零，整理得 x2−3x+2=0x^{2}-3x+2=0，即 (x−1)(x−2)=0(x-1)(x-2)=0. 两个根 x=1x=1，x=2x=2 都满足定义域条件，故方程的解为 x=1x=1，22. \end{solution}

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★☆☆☆
某地球仪上北纬 30∘30^{\circ} 纬线的长度为 12π cm12\pi\mathrm{~cm}，该地球仪的半径是______cm\mathrm{cm}，表面积是______cm2\mathrm{cm}^{2}. \begin{answer} 434\sqrt{3}，192π192\pi \end{answer}
\begin{solution} 设地球仪半径为 RR. 北纬 30∘30^{\circ} 纬线所在圆的半径是球心到该纬线平面的垂线在该平面内的投影长度，即 Rcos⁡30∘=32RR\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}R. 因此该纬线的长度为
2π⋅32R=12π2\pi\cdot\frac{\sqrt3}{2}R=12\pi
约去 π\pi 并解得 R=43R=4\sqrt3. 地球仪的表面积为 4πR2=4π⋅(43)2=192π4\pi R^{2}=4\pi\cdot(4\sqrt3)^{2}=192\pi. 两个填空依次为 434\sqrt3，192π192\pi. \end{solution}

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
圆 x2+(y+1)2=1x^{2}+(y+1)^{2}=1 的圆心坐标是______，如果直线 x+y+a=0x+y+a=0 与该圆有公共点，那么实数 aa 的取值范围是______. \begin{answer} (0,−1)(0,-1)，[1−2,1+2][1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}] \end{answer}
\begin{solution} 将圆方程配方可知圆心为 (0,−1)(0,-1)，半径为 11. 圆心到直线 x+y+a=0x+y+a=0 的距离为
∣0−1+a∣12+12=∣a−1∣2\frac{|0-1+a|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{|a-1|}{\sqrt2}
直线与圆有公共点，当且仅当这个距离不大于半径 11，所以 ∣a−1∣2⩽1\dfrac{|a-1|}{\sqrt2}\leqslant1，即 ∣a−1∣⩽2|a-1|\leqslant\sqrt2. 因此 a∈[1−2,1+2]a\in[1-\sqrt2,1+\sqrt2]. \end{solution}

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14数列★★☆☆☆
定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {an}\{a_{n}\} 是等和数列，且 a1=2a_{1}=2，公和为 55，那么 a18a_{18} 的值为______，且这个数列的前 2121 项和 S21S_{21} 的计算公式为______. \begin{answer} 33，S21=52S_{21}=52 \end{answer}
\begin{solution} 由等和数列的定义，任意相邻两项满足 an+an+1=5a_n+a_{n+1}=5，所以 an+1=5−ana_{n+1}=5-a_n. 由 a1=2a_1=2 得 a2=3a_2=3，再由递推关系得到 a3=2a_3=2，a4=3a_4=3，故可归纳得 a2j−1=2a_{2j-1}=2，a2j=3a_{2j}=3（j=1j=1，22，⋯\cdots）. 因为 18=2×918=2\times9，所以 a18=3a_{18}=3. 前 2121 项中有 1111 个奇数项和 1010 个偶数项，故 S21=11×2+10×3=52S_{21}=11\times2+10\times3=52. 所以两个填空依次为 33，S21=52S_{21}=52. \end{solution}

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