函数 $f(x)=x^{2}-2ax-3$ 在区间 $[1,2]$ 上存在反函数的充分必要条件是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 函数可写为 $f(x)=(x-a)^{2}-a^{2}-3$，其对称轴为 $x=a$. 二次函数在闭区间 $[1,2]$ 上存在反函数，当且仅当它在该区间上具有单调性，也就是对称轴不在区间内部.

当 $a\leqslant1$ 时，$f'(x)=2(x-a)\geqslant0$（除端点外为正），函数在 $[1,2]$ 上严格递增；当 $a\geqslant2$ 时，$f'(x)\leqslant0$（除端点外为负），函数在 $[1,2]$ 上严格递减. 若 $1<a<2$，取足够小的 $t>0$，使 $a-t$，$a+t\in[1,2]$，则 $f(a-t)=f(a+t)$，函数不具有单调性，也不可能有反函数. 所以 $a\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty)$，选 C. \end{solution}