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02数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，若输出的 S=57S = 57，则判断框内为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 程序开始时 S=1S=1，k=1k=1. 每循环一次先令 kk 增加 11，再令 S=2S+kS=2S+k，因此各次循环后的状态依次为 (k,S)=(2,4)(k,S)=(2,4)， (3,11)\ (3,11)， (4,26)\ (4,26)， (5,57)\ (5,57). 当 k=5k=5 时已经得到输出值 S=57S=57，所以判断框在此时应为“是”，即判断条件应为 k>4k>4. 故选 A. \end{solution}
A.
k>4k > 4
B.
k>5k > 5
C.
k>6k > 6
D.
k>7k > 7

2010 · 浙江 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，8a2+a5=08a_{2} + a_{5} = 0，则 S5S2=\frac{S_{5}}{S_{2}} =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 由于所求比值有意义，且等比数列的相邻项比值有定义，a2≠0a_2\ne0，于是
a5=a2q3a_5=a_2q^3
由题设
8a2+a5=a2(8+q3)=08a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0
得 q=−2q=-2. 因此
S5S2=a11−q51−qa11−q21−q=1−(−2)51−(−2)2=33−3=−11\frac{S_5}{S_2} =\frac{a_1\dfrac{1-q^5}{1-q}}{a_1\dfrac{1-q^2}{1-q}} =\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)^2} =\frac{33}{-3}=-11
故选 D. \end{solution}
A.
11
B.
5
C.
−8-8
D.
−11-11

2010 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05复数★★☆☆☆
对任意复数 z=x+yiz = x + y\mathrm{i}（xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），i\mathrm{i} 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 z‾=x−yi\overline z=x-y\mathrm{i}，所以 z−z‾=2yiz-\overline z=2y\mathrm{i}，∣z−z‾∣=2∣y∣|z-\overline z|=2|y|. 选项 A 在 y<0y<0 时不成立. 又
z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyiz^2=(x+y\mathrm{i})^2=x^2-y^2+2xy\mathrm{i}
通常不等于 x2+y2x^2+y^2，故 B 错. 取 x=1x=1，y=0y=0，则 ∣z−z‾∣=0<2x|z-\overline z|=0<2x，故 C 错.
最后由复数模的三角不等式
∣z∣=∣x+yi∣⩽∣x∣+∣yi∣=∣x∣+∣y∣|z|=|x+y\mathrm{i}|\leqslant |x|+|y\mathrm{i}|=|x|+|y|
所以 D 正确，故选 D. \end{solution}
A.
∣z−z‾∣=2y|z - \overline{z}| = 2y
B.
z2=x2+y2z^2 = x^2 + y^2
C.
∣z−z‾∣⩾2x|z - \overline{z}| \geqslant 2x
D.
∣z∣⩽∣x∣+∣y∣|z|\leqslant |x| + |y|

2010 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
设 ll，mm 是两条不同的直线，α\alpha 是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 选项 A 不成立：在平面 α\alpha 内取两条相互垂直的直线作为 ll，mm，则 l⊥ml\perp m 且 m⊂αm\subset\alpha，但 ll 不垂直于 α\alpha.
若 l⊥αl\perp\alpha，则 ll 的方向是平面的法向方向；又 l∥ml\parallel m，所以 mm 也具有该法向方向，从而 m⊥αm\perp\alpha，故 B 正确.
选项 C 中，取 α:z=0\alpha:z=0，ll 为 z=1z=1 内沿 xx 轴方向的直线，mm 为 α\alpha 内沿 yy 轴方向的直线，则 l∥αl\parallel\alpha、m⊂αm\subset\alpha，但 ll 不平行于 mm. 选项 D 中，取 α:z=0\alpha:z=0，ll 为 z=1z=1 内沿 xx 轴方向的直线，mm 为 z=2z=2 内沿 yy 轴方向的直线，则 l∥αl\parallel\alpha、m∥αm\parallel\alpha，但 ll 与 mm 不平行. 因此选 B. \end{solution}
A.
若 l⊥ml \perp m，m⊂αm \subset \alpha，则 l⊥αl \perp \alpha
B.
若 l⊥αl \perp \alpha，l∥ml \parallel m，则 m⊥αm \perp \alpha
C.
若 l∥αl \parallel \alpha，m⊂αm \subset \alpha，则 l∥ml \parallel m
D.
若 l∥αl \parallel \alpha，m∥αm \parallel \alpha，则 l∥ml \parallel m

2010 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x−π4)−22sin⁡2xf(x) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 2\sqrt{2}\sin^2 x 的最小正周期是______. \begin{answer} π\pi \end{answer}
\begin{solution} 利用 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} 及和角公式，得
f(x)=sin⁡2x−cos⁡2x2−2(1−cos⁡2x)=sin⁡2x+cos⁡2x2−2=sin⁡(2x+π4)−2.\begin{aligned} f(x)&=\frac{\sin2x-\cos2x}{\sqrt2}-\sqrt2(1-\cos2x)\\ &=\frac{\sin2x+\cos2x}{\sqrt2}-\sqrt2\\ &=\sin\left(2x+\frac\pi4\right)-\sqrt2. \end{aligned}
正弦函数的自变量系数为 22，所以最小正周期为 2π2=π\frac{2\pi}{2}=\pi. \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
设抛物线 y2=2pxy^{2}=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，点 A(0,2)A(0,2). 若线段 FAFA 的中点 BB 在抛物线上，则 BB 到该抛物线准线的距离为______. \begin{answer} 324\frac{3\sqrt{2}}{4} \end{answer}
\begin{solution} 将 y2=2pxy^2=2px 与标准形式 y2=4axy^2=4ax 比较，得焦点 F=(p2,0)F=(\frac p2,0)，准线为 x=−p2x=-\frac p2. 因此
B=(p4,1)B=\left(\frac p4,1\right)
因为 BB 在抛物线上，所以
1=2p⋅p4=p221=2p\cdot\frac p4=\frac{p^2}{2}
由 p>0p>0 得 p=2p=\sqrt2，从而 B=(24,1)B=(\frac{\sqrt2}{4},1). 点 BB 到准线的距离为
24−(−22)=324\frac{\sqrt2}{4}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\sqrt2}{4}
故填 324\frac{3\sqrt2}{4}. \end{solution}

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