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03解析几何★★☆☆☆
对任意的实数 kk，直线 y=kx+1y = kx + 1 与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 的位置关系一定是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 直线 y=kx+1y=kx+1 恒过定点 (0,1)(0,1). 该点到圆心 O(0,0)O(0,0) 的距离为 11，小于圆的半径 2\sqrt2，所以定点在圆内，过该点的任意直线都与圆相交于两个点. 又直线不经过原点，因为将 (0,0)(0,0) 代入 y=kx+1y=kx+1 不成立. 因而直线与圆相交但不过圆心，故选 C. \end{solution}
A.
相离
B.
相切
C.
相交但直线不过圆心
D.
相交且直线过圆心

2012 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+12x)8\left(\sqrt{x} +\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^8 的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 Tr+1=C8r(x)8−r(12x)r=C8r2−rx4−rT_{r+1}=\mathrm C_{8}^{r}(\sqrt{x})^{8-r}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{r} =\mathrm C_{8}^{r}2^{-r}x^{4-r}，r=0r=0，11，…\ldots，88 常数项要求 4−r=04-r=0，所以 r=4r=4. 因此常数项为
C842−4=7016=358\mathrm C_{8}^{4}2^{-4}=\frac{70}{16}=\frac{35}{8}
故选 B. \end{solution}
A.
3516\frac{35}{16}
B.
358\frac{35}{8}
C.
354\frac{35}{4}
D.
105105

2012 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
设 tan⁡α\tan \alpha，tan⁡β\tan \beta 是方程 x2−3x+2=0x^{2} - 3x + 2 = 0 的两根，则 tan⁡(α+β)\tan (\alpha + \beta) 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由韦达定理， tan⁡α+tan⁡β=3\tan\alpha+\tan\beta=3，tan⁡αtan⁡β=2\tan\alpha\tan\beta=2 由于 1−tan⁡αtan⁡β=−1≠01-\tan\alpha\tan\beta=-1\ne0，正切和公式可用，故
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=31−2=−3\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{3}{1-2}=-3
故选 A. \end{solution}
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

2012 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
设 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，向量 a=(x,1)\boldsymbol{a} = (x, 1)，b=(1,y)\boldsymbol{b} = (1, y)，c=(2,−4)\boldsymbol{c} = (2, -4)，且 a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，b∥c\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{c}，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 a⊥c\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}，得 a⋅c=2x−4=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2x-4=0，x=2x=2 由 b∥c\boldsymbol{b}\parallel\boldsymbol{c}，得 (1,y)=λ(2,−4)(1,y)=\lambda(2,-4). 由第一坐标 λ=12\lambda=\frac12，所以 y=−2y=-2. 因而 a=(2,1)\boldsymbol{a}=(2,1)，b=(1,−2)\boldsymbol{b}=(1,-2)，从而 a+b=(3,−1)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,-1)，∣a+b∣=32+(−1)2=10|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}， 故选 B. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
10\sqrt{10}
C.
252\sqrt{5}
D.
1010

2012 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞1n2+5n−n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2 + 5n} - n}=______.
\begin{answer} 25\frac{2}{5} \end{answer}
\begin{solution} 有理化分母得
1n2+5n−n=n2+5n+n5n=1+5n+15\frac{1}{\sqrt{n^{2}+5n}-n} =\frac{\sqrt{n^{2}+5n}+n}{5n} =\frac{\sqrt{1+\frac5n}+1}{5}
当 n→∞n\to\infty 时，1+5n→1\sqrt{1+\frac5n}\to1，故
lim⁡n→∞1n2+5n−n=1+15=25\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+5n}-n} =\frac{1+1}{5}=\frac25
\end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 cos⁡A=35\cos A = \frac{3}{5}，cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}，b=3b = 3，则 c=‾c =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 145\frac{14}{5} \end{answer}
\begin{solution} 由于 AA，BB 是三角形内角，且余弦值为正，故 sin⁡A=1−cos⁡2A=45\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\frac45，sin⁡B=1−cos⁡2B=1213\sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\frac{12}{13} 又 C=π−(A+B)C=\pi-(A+B)，所以
sin⁡C=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B=45⋅513+35⋅1213=5665\sin C=\sin(A+B) =\sin A\cos B+\cos A\sin B =\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13} =\frac{56}{65}
由正弦定理， csin⁡C=bsin⁡B\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}，c=3⋅5665⋅1312=145c=3\cdot\frac{56}{65}\cdot\frac{13}{12}=\frac{14}{5} \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)=aln⁡x+12x+32x+1f(x)=a\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2}x+1，其中 a∈Ra\in \mathbf{R}，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线垂直于 yy 轴.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数的定义域为 x>0x>0，且
f′(x)=ax−12x2+32f'(x)=\frac{a}{x}-\frac{1}{2x^{2}}+\frac32
曲线在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线垂直于 yy 轴，所以该切线为水平切线，故 f′(1)=0f'(1)=0. 因此 a−12+32=0a-\frac12+\frac32=0，a=−1a=-1
\item 代入 a=−1a=-1，得
f′(x)=−1x−12x2+32=3x2−2x−12x2=(3x+1)(x−1)2x2f'(x)=-\frac1x-\frac{1}{2x^{2}}+\frac32 =\frac{3x^{2}-2x-1}{2x^{2}} =\frac{(3x+1)(x-1)}{2x^{2}}
在定义域 x>0x>0 内，3x+1>03x+1>0，2x2>02x^{2}>0，所以 f′(x)<0f'(x)<0 当 0<x<10<x<1，f′(x)>0f'(x)>0 当 x>1x>1. 于是 f(x)f(x) 在 (0,1)(0,1) 上递减，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递增，故 x=1x=1 为极小值点. 极小值为
f(1)=−ln⁡1+12+32+1=3f(1)=-\ln1+\frac12+\frac32+1=3
函数没有最大值. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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