已知函数 $f(x)$ 是偶函数，而且在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，判断 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,0\right)$ 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

\begin{solution} 在 $\left(-\infty,0\right)$ 上是减函数. 任取 $x_{1}$，$x_{2}\in\left(-\infty,0\right)$，且 $x_{1}<x_{2}<0$，则 $-x_{1}>-x_{2}>0$. 由 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，得 $f(-x_{1})>f(-x_{2})$. 又因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(x_{1})=f(-x_{1})$，$f(x_{2})=f(-x_{2})$，从而 $f(x_{1})>f(x_{2})$. 因此，当 $x_{1}<x_{2}<0$ 时总有 $f(x_{1})>f(x_{2})$，故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,0\right)$ 上是减函数. \end{solution}