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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣xx−1<0}A = \left\{x \mid \frac{x}{x - 1} < 0\right\}，B={x∣0<x<3}B = \{x \mid 0 < x < 3\}，那么“m∈Am \in A”是“m∈Bm \in B”的（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 由 xx−1<0\dfrac{x}{x-1}<0，分界点为 00 和 11. 逐段判断符号可得 A=(0,1)A=(0,1)，而题设给出 B=(0,3)B=(0,3). 于是 A⊊BA\subsetneq B：若 m∈Am\in A，必有 m∈Bm\in B，但取 m=2m=2 可知 m∈Bm\in B 不一定推出 m∈Am\in A. 因此“m∈Am\in A”是“m∈Bm\in B”的充分而不必要条件，选 A. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x3+sin⁡x+1f(x) = x^3 + \sin x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}），若 f(a)=2f(a) = 2，则 f(−a)f(-a) 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由 f(a)=2f(a)=2，得 a3+sin⁡a+1=2a^3+\sin a+1=2，即 a3+sin⁡a=1a^3+\sin a=1. 因此 f(−a)=(−a)3+sin⁡(−a)+1=−a3−sin⁡a+1=0f(-a)=(-a)^3+\sin(-a)+1=-a^3-\sin a+1=0，选 B. \end{solution}
A.
33
B.
00
C.
−1-1
D.
−2-2

2008 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班级要从 44 名男生，22 名女生中选派 44 人参加某次社区服务，如果要求至少有 11 名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 从 6 人中任取 4 人共有 C64\mathrm C_6^4 种. 扣除没有女生、即 4 名男生全被选中的 C44\mathrm C_4^4 种，得到
C64−C44=15−1=14\mathrm C_6^4-\mathrm C_4^4=15-1=14
故选 A. \end{solution}
A.
1414
B.
2424
C.
2828
D.
4848

2008 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
若实数 xx， yy 满足
{x−y+1⩽0,x>0,\begin{cases} x - y + 1 \leqslant 0,\\ x > 0,\\ \end{cases}
则 yx\frac{y}{x} 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 由 x−y+1⩽0x-y+1\leqslant0 得 y⩾x+1y\geqslant x+1. 因为 x>0x>0，所以
yx⩾x+1x=1+1x>1\frac yx\geqslant\frac{x+1}{x}=1+\frac1x>1
任取 r>1r>1，取 x=1r−1>0x=\dfrac1{r-1}>0，再取 y=rx=x+1y=rx=x+1，便有 yx=r\frac{y}{x}=r. 因此 yx\frac{y}{x} 的取值范围恰为 (1,+∞)(1,+\infty)，选 C. \end{solution}
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,1](0,1]
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
[1,+∞)[1, +\infty)

2008 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象按向量 (m,0)(m, 0) 平移后，得到函数 y=−f′(x)y = -f'(x) 的图象，则 mm 的值可以为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-\sin x，所以 −f′(x)=sin⁡x-f'(x)=\sin x. 图象 y=f(x)=cos⁡xy=f(x)=\cos x 按向量 (m,0)(m,0) 平移后变为 y=f(x−m)=cos⁡(x−m)y=f(x-m)=\cos(x-m). 要使它与 y=sin⁡x=cos⁡(x−π2)y=\sin x=\cos\left(x-\dfrac\pi2\right) 重合，需有 m=π2+2kπm=\dfrac\pi2+2k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 选项中只有 m=π2m=\dfrac\pi2，故选 A. \end{solution}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
−π-\pi
D.
−π2-\frac{\pi}{2}

2008 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，若 (a2+c2−b2)tan⁡B=3ac(a^{2} + c^{2} - b^{2})\tan B = \sqrt{3}ac，则角 BB 的值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B，所以 a2+c2−b2=2accos⁡Ba^2+c^2-b^2=2ac\cos B. 代入题设并注意 tan⁡B\tan B 有定义，得
2accos⁡Btan⁡B=3ac2ac\cos B\tan B=\sqrt3ac
由于 aa，c>0c>0，且 cos⁡B≠0\cos B\neq0，上式化为 2sin⁡B=32\sin B=\sqrt3，即 sin⁡B=32\sin B=\dfrac{\sqrt3}{2}. 三角形内角满足 0<B<π0<B<\pi，故 B=π3B=\dfrac\pi3 或 B=2π3B=\dfrac{2\pi}3，选 D. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π6\frac{\pi}{6} 或 5π6\frac{5\pi}{6}
D.
π3\frac{\pi}{3} 或 2π3\frac{2\pi}{3}

2008 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x−2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(x - 2)^{5} = a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}，则 a1+a2+a3+a4+a5=‾a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 31 \end{answer} \begin{solution} 由二项式展开式
(x−2)5=x5−10x4+40x3−80x2+80x−32(x-2)^5=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32
可得 a5=1a_5=1，a4=−10a_4=-10，a3=40a_3=40，a2=−80a_2=-80，a1=80a_1=80. 因而
a1+a2+a3+a4+a5=80−80+40−10+1=31a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=80-80+40-10+1=31
\end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若直线 3x+4y+m=03x + 4y + m = 0 与圆
{x=1+cos⁡θ,y=−2+sin⁡θ,\begin{cases} x = 1 + \cos \theta,\\ y = -2 + \sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）没有公共点，则实数 mm 的取值范围是______. \begin{answer} m<0m<0 或 m>10m>10 \end{answer} \begin{solution} 参数方程表示的圆为 (x−1)2+(y+2)2=1(x-1)^2+(y+2)^2=1，圆心为 C(1,−2)C(1,-2)，半径为 11. 圆心到直线 3x+4y+m=03x+4y+m=0 的距离为
d=∣3⋅1+4⋅(−2)+m∣32+42=∣m−5∣5d=\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|m-5|}{5}
直线与圆没有公共点当且仅当 d>1d>1，即 ∣m−5∣>5|m-5|>5. 解得 m<0m<0 或 m>10m>10. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3\sqrt{3}，则其外接球的表面积是______. \begin{answer} 9π9\pi \end{answer} \begin{solution} 设三棱锥顶点为 PP，底面顶点为 AA，BB，CC. 三个侧面两两垂直，因此它们的两两交线 PAPA、PBPB、PCPC 两两垂直. 取 P(0,0,0)P(0,0,0)，A(3,0,0)A(\sqrt3,0,0)，B(0,3,0)B(0,\sqrt3,0)，C(0,0,3)C(0,0,\sqrt3).
外接球心到四个顶点距离相等. 由对称性球心为 O(32,32,32)O\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，所以外接球半径满足
R2=(32)2+(32)2+(32)2=94R^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac94
故其表面积为 4πR2=9π4\pi R^2=9\pi. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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