“$x < 0$”是“$\ln(x + 1) < 0$”的（ ）

\begin{solution} $\ln(x+1)<0$ 首先要求 $x+1>0$. 由于对数函数在其定义域上单调递增，且 $\ln 1=0$，所以 $\ln(x+1)<0$ 等价于 $0<x+1<1$，即 $-1<x<0$. 因而“$\ln(x+1)<0$”能推出“$x<0$”，但“$x<0$”不能保证 $x+1>0$，也不能推出前一个不等式，例如 $x=-2$ 时对数式无意义，所以“$x<0$”是必要不充分条件，故选 B. \end{solution}

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

\begin{solution} 程序开始时 $x=y=1$. 每次循环先计算 $z=x+y$，若 $z\leqslant50$，再依次令 $x=y$，$y=z$，因此循环中得到的 $z$ 依次为 $2$，$3$，$5$，$8$，$13$，$21$，$34$，$55$. 前一个结果 $34\leqslant50$，更新后得到 $55>50$，程序输出 $55$，故选 B. \end{solution}

设函数 $f(x)$（$x \in \mathbf{R}$）满足 $f(x + \pi) = f(x) + \sin x$. 当 $0 \leqslant x < \pi$ 时，$f(x) = 0$，则 $f\left(\frac{23\pi}{6}\right) =$（ ）

\begin{solution} 令 $x_0=\dfrac{5\pi}{6}$. 因为 $0\leqslant x_0<\pi$，所以 $f(x_0)=0$. 由递推关系，$f(x_0+\pi)=f(x_0)+\sin x_0=\dfrac12$，$f(x_0+2\pi)=f(x_0+\pi)+\sin(x_0+\pi)=0$，$f(x_0+3\pi)=f(x_0+2\pi)+\sin(x_0+2\pi)=\dfrac12$. 又 $\dfrac{23\pi}{6}=x_0+3\pi$，故选 A. \end{solution}

数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列. 若 $a_{1} + 1$，$a_{3} + 3$，$a_{5} + 5$ 构成公比为 $q$ 的等比数列，则 $q =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{solution} 设 $u=a_{1}+1$，$v=a_{3}+3$，$w=a_{5}+5$. 由 $\{a_n\}$ 是等差数列，得 $a_{1}+a_{5}=2a_{3}$，从而 $u+w=2v$. 又 $u$，$v$，$w$ 构成等比数列，故 $v^{2}=uw$. 于是 $(u-w)^{2}=(u+w)^{2}-4uw=4v^{2}-4v^{2}=0$，所以 $u=v=w$. 因公比定义为后一项与前一项之比，故 $q=\dfrac vu=1$. \end{solution}