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02复数★★☆☆☆
在复平面内，把复数 3−3i3 - \sqrt{3}\mathrm{i} 对应的向量按顺时针方向旋转 π3\frac{\pi}{3}，所得向量对应的复数是（ ）
\begin{solution} 顺时针旋转 π3\frac{\pi}{3} 相当于乘以 cos⁡π3−isin⁡π3=12−32i\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}. 因此所得复数为
(3−3i)(12−32i)=−23i(3-\sqrt3\mathrm{i})\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\right)=-2\sqrt3\mathrm{i}
故选 B. \end{solution}
A.
232\sqrt{3}
B.
−23i-2\sqrt{3}\mathrm{i}
C.
3−3i\sqrt{3}-3\mathrm{i}
D.
3+3i3+\sqrt{3}\mathrm{i}

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03立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2\sqrt{2}，3\sqrt{3}，6\sqrt{6}，这个长方体对角线的长是（ ）
\begin{solution} 设长方体的三条棱长分别为 xx，yy，zz，则 xy=2xy=\sqrt2，yz=3yz=\sqrt3，zx=6zx=\sqrt6. 由三式相乘得 xyz=6xyz=\sqrt6，从而 x=xyzyz=2x=\frac{xyz}{yz}=\sqrt2，y=xyzzx=1y=\frac{xyz}{zx}=1，z=xyzxy=3z=\frac{xyz}{xy}=\sqrt3. 所以长方体的对角线长为 x2+y2+z2=2+1+3=6\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2+1+3}=\sqrt6. 故选 D. \end{solution}
A.
232\sqrt{3}
B.
323\sqrt{2}
C.
66
D.
6\sqrt{6}

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04三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α>sin⁡β\sin\alpha>\sin\beta，那么下列命题成立的是（ ）
\begin{solution} 在第一象限内，正弦函数递增而余弦函数递减，所以 sin⁡α>sin⁡β\sin\alpha>\sin\beta 推出 cos⁡α<cos⁡β\cos\alpha<\cos\beta，命题 A 错. 第二象限内正切函数递增，而正弦函数递减，因此 sin⁡α>sin⁡β\sin\alpha>\sin\beta 推出 α<β\alpha<\beta，进而 tan⁡α<tan⁡β\tan\alpha<\tan\beta，命题 B 错. 第三象限内正弦函数递减、余弦函数递增，故 sin⁡α>sin⁡β\sin\alpha>\sin\beta 仍推出 cos⁡α<cos⁡β\cos\alpha<\cos\beta，命题 C 错. 第四象限内正弦函数递增、正切函数递增，所以 sin⁡α>sin⁡β\sin\alpha>\sin\beta 推出 α>β\alpha>\beta，从而 tan⁡α>tan⁡β\tan\alpha>\tan\beta. 故选 D. \end{solution}
A.
若 α\alpha，β\beta 是第一象限角，则 cos⁡α>cos⁡β\cos\alpha>\cos\beta
B.
若 α\alpha，β\beta 是第二象限角，则 tan⁡α>tan⁡β\tan\alpha>\tan\beta
C.
若 α\alpha，β\beta 是第三象限角，则 cos⁡α>cos⁡β\cos\alpha>\cos\beta
D.
若 α\alpha，β\beta 是第四象限角，则 tan⁡α>tan⁡β\tan\alpha>\tan\beta

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=−xcos⁡xy=-x\cos x 的部分图象是（ ）
\begin{solution} 函数 y=−xcos⁡xy=-x\cos x 是奇函数，因为 y(−x)=−y(x)y(-x)=-y(x)，所以图象关于原点中心对称. 又 y(0)=0y(0)=0，当 x>0x>0 足够小时 cos⁡x>0\cos x>0，于是 y<0y<0；当 x<0x<0 足够接近零时 y>0y>0. 此外，函数在 x=0x=0 和 x=π2x=\frac{\pi}{2} 等处过 xx 轴. 符合这些性质的图象是选项 D. 故选 D. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

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06函数与初等函数★★☆☆☆
《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元800\text{ 元} 的部分不必纳税，超过 800 元800\text{ 元} 的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
某人一月份交纳此项税款 26.78 元26.78\text{ 元}，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
\begin{solution} 设应纳税所得额为 xx 元. 前 500500 元的税款为 500×5%=25500\times5\%=25 元，而总税款为 26.7826.78 元，所以 x>500x>500. 在 500<x⩽2000500<x\leqslant2000 时，税款为
25+10%(x−500)=26.7825+10\%(x-500)=26.78
解得 x=517.8x=517.8. 因此工资、薪金所得为 800+517.8=1317.8800+517.8=1317.8 元，介于 12001200 元和 15001500 元之间. 故选 C. \end{solution}
A.
800 元−900 元800\text{ 元}-900\text{ 元}
B.
900 元−1200 元900\text{ 元}-1200\text{ 元}
C.
1200 元−1500 元1200\text{ 元}-1500\text{ 元}
D.
1500 元−2800 元1500\text{ 元}-2800\text{ 元}

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07不等式★★☆☆☆
若 a>b>1a>b>1，P=lg⁡a⋅lg⁡bP=\sqrt{\lg a\cdot\lg b}，Q=12(lg⁡a+lg⁡b)Q=\frac{1}{2}\left(\lg a+\lg b\right)，R=lg⁡(a+b2)R=\lg\left(\frac{a+b}{2}\right)，则（ ）
\begin{solution} 令 u=lg⁡au=\lg a，v=lg⁡bv=\lg b，则 u>v>0u>v>0. 由算术平均数与几何平均数的关系，P=uv<u+v2=QP=\sqrt{uv}<\frac{u+v}{2}=Q. 又因为 a>b>0a>b>0，有 a+b2>ab\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}，取常用对数得
R=lg⁡a+b2>lg⁡ab=12(lg⁡a+lg⁡b)=QR=\lg\frac{a+b}{2}>\lg\sqrt{ab}=\frac12(\lg a+\lg b)=Q
所以 P<Q<RP<Q<R，故选 B. \end{solution}
A.
R<P<QR<P<Q
B.
P<Q<RP<Q<R
C.
Q<P<RQ<P<R
D.
P<R<QP<R<Q

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10解析几何★★☆☆☆
过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0x^{2}+y^{2}+4x+3=0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）
\begin{solution} 圆的方程化为 (x+2)2+y2=1(x+2)^2+y^2=1，圆心为 (−2,0)(-2,0)，半径为 11. 过原点的切线可设为 y=mxy=mx，即 mx−y=0mx-y=0. 由圆心到切线的距离等于半径，得
∣−2m∣m2+1=1\frac{|{-2m}|}{\sqrt{m^2+1}}=1
所以 4m2=m2+14m^2=m^2+1，即 m=±33m=\pm\frac{\sqrt3}{3}. 切点在第三象限时，直线斜率必须为正，故 m=33m=\frac{\sqrt3}{3}. 因此切线方程为 y=33xy=\frac{\sqrt3}{3}x，故选 C. \end{solution}
A.
y=3xy=\sqrt{3}x
B.
y=−3xy=-\sqrt{3}x
C.
y=33xy=\frac{\sqrt{3}}{3}x
D.
y=−33xy=-\frac{\sqrt{3}}{3}x

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
乒乓球队的 1010 名队员中有 33 名主力队员，派 55 名参加比赛，33 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 77 名队员选 22 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有______种（用数字作答）.
\begin{solution} 三名主力队员分别安排在第一、三、五位置，有 3!=63!=6 种安排. 其余两名队员从七名非主力队员中选出并安排在第二、四位置，有 A72=7×6=42\mathrm A_7^2=7\times6=42 种安排. 因此总数为
3!A72=6×42=2523!\mathrm A_7^2=6\times42=252
\end{solution}

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17三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=3sin⁡x+cos⁡xy=\sqrt{3}\sin x+\cos x（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 当函数 yy 取得最大值时，求自变量 xx 的集合. (2) 该函数的图象可由 y=sin⁡xy=\sin x（x∈Rx\in\mathbf{R}）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item y=3sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π6)y=\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). 函数取得最大值 22 当且仅当 x+π6=π2+2kπx+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi，所以 x=π3+2kπx=\frac{\pi}{3}+2k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. \item 由 y=2sin⁡(x+π6)y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) 可知，先将 y=sin⁡xy=\sin x 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6}，再沿纵轴方向伸长为原来的 22 倍即可. \end{enumerate} \end{solution}

2000 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，已知 S7=7S_{7}=7，S15=75S_{15}=75，TnT_{n} 为数列 {Snn}\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\} 的前 nn 项和，求 TnT_{n}.
\begin{solution} 设等差数列首项为 a1a_1，公差为 dd. 由 Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)d) 及已知条件，得 2a1+6d=22a_1+6d=2，2a1+14d=102a_1+14d=10. 解得 d=1d=1，a1=−2a_1=-2. 因此 Sn=n2(n−5)S_n=\frac n2(n-5)，Snn=n−52\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}. 于是
Tn=∑k=1nk−52=14n(n+1)−52n=14n2−94nT_n=\sum_{k=1}^n\frac{k-5}{2}=\frac14n(n+1)-\frac52n=\frac14n^2-\frac94n
\end{solution}

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