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13
计数原理与组合数学
★★☆☆☆
(
x
2
−
1
2
x
)
9
(x^{2}-\frac{1}{2x})^{9}
(
x
2
−
2
x
1
)
9
展开式中
x
9
x^{9}
x
9
的系数是______. \begin{answer}
−
21
2
-\frac{21}{2}
−
2
21
\end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为
C
9
k
(
x
2
)
9
−
k
(
−
1
2
x
)
k
=
C
9
k
(
−
1
)
k
2
k
x
18
−
3
k
\mathrm C_{9}^{k}(x^{2})^{9-k}\left(-\frac{1}{2x}\right)^{k}=\mathrm C_{9}^{k}\frac{(-1)^{k}}{2^{k}}x^{18-3k}
C
9
k
(
x
2
)
9
−
k
(
−
2
x
1
)
k
=
C
9
k
2
k
(
−
1
)
k
x
18
−
3
k
要得到
x
9
x^{9}
x
9
，必须满足
18
−
3
k
=
9
18-3k=9
18
−
3
k
=
9
，所以
k
=
3
k=3
k
=
3
. 因此所求系数为
C
9
3
(
−
1
)
3
2
3
=
−
84
8
=
−
21
2
\mathrm C_{9}^{3}\frac{(-1)^{3}}{2^{3}}=-\frac{84}{8}=-\frac{21}{2}
C
9
3
2
3
(
−
1
)
3
=
−
8
84
=
−
2
21
\end{solution}
2003 · 河南 · 第 13 题 · 填空题
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