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07
指数函数与对数函数
★★☆☆☆
函数
y
=
ln
x
+
1
x
−
1
y = \ln \frac{x + 1}{x - 1}
y
=
ln
x
−
1
x
+
1
，
x
∈
(
1
,
+
∞
)
x \in (1, +\infty)
x
∈
(
1
,
+
∞
)
的反函数为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设原函数中自变量为
t
t
t
，函数值为
u
u
u
，则
u
=
ln
t
+
1
t
−
1
u=\ln\frac{t+1}{t-1}
u
=
ln
t
−
1
t
+
1
，其中
t
>
1
t>1
t
>
1
. 因而
e
u
=
t
+
1
t
−
1
\mathrm{e}^{u}=\frac{t+1}{t-1}
e
u
=
t
−
1
t
+
1
，解得
t
=
e
u
+
1
e
u
−
1
t=\frac{\mathrm{e}^{u}+1}{\mathrm{e}^{u}-1}
t
=
e
u
−
1
e
u
+
1
. 当
t
>
1
t>1
t
>
1
时，
t
+
1
t
−
1
>
1
\frac{t+1}{t-1}>1
t
−
1
t
+
1
>
1
，所以
u
>
0
u>0
u
>
0
. 交换自变量与函数值，反函数为
y
=
e
x
+
1
e
x
−
1
y=\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-1}
y
=
e
x
−
1
e
x
+
1
，
x
∈
(
0
,
+
∞
)
x\in(0,+\infty)
x
∈
(
0
,
+
∞
)
，故选 B. \end{solution}
A.
y
=
e
x
−
1
e
x
+
1
y = \frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}
y
=
e
x
+
1
e
x
−
1
（
x
∈
(
0
,
+
∞
)
x \in (0, +\infty)
x
∈
(
0
,
+
∞
)
）
B.
y
=
e
x
+
1
e
x
−
1
y = \frac{\mathrm{e}^{x} + 1}{\mathrm{e}^{x} - 1}
y
=
e
x
−
1
e
x
+
1
（
x
∈
(
0
,
+
∞
)
x \in (0, +\infty)
x
∈
(
0
,
+
∞
)
）
C.
y
=
e
x
−
1
e
x
+
1
y = \frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}
y
=
e
x
+
1
e
x
−
1
（
x
∈
(
−
∞
,
0
)
x \in (-\infty, 0)
x
∈
(
−
∞
,
0
)
）
D.
y
=
e
x
+
1
e
x
−
1
y = \frac{\mathrm{e}^{x} + 1}{\mathrm{e}^{x} - 1}
y
=
e
x
−
1
e
x
+
1
（
x
∈
(
−
∞
,
0
)
x \in (-\infty, 0)
x
∈
(
−
∞
,
0
)
）
2003 · 河南 · 第 7 题 · 选择题
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