证明：$\left(1+\tan\alpha\right)^2=\dfrac{1+\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

一只船以 $20\text{ 海里/小时}$ 的速度向正东航行，起初船在 $A$ 处看见一灯塔 $B$ 在船的北 $45^\circ$ 东方向，一小时后船在 $C$ 处看见这个灯塔在船的北 $15^\circ$ 东方向，求这时船和灯塔的距离 $CB$.