在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的增函数又是以 $\pi$ 为周期的偶函数（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 函数 $y=x^2$ 虽为偶函数，但 $(x+\pi)^2$ 不恒等于 $x^2$，所以不是以 $\pi$ 为周期的函数. 函数 $y=|\sin x|$ 满足 $|\sin(-x)|=|\sin x|$，是偶函数；又有 $|\sin(x+\pi)|=|\sin x|$，以 $\pi$ 为周期. 在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 内，$\sin x$ 为增函数且为正数，因此 $|\sin x|=\sin x$ 为增函数. 函数 $y=\cos 2x$ 在该区间内递减，函数 $y=\mathrm{e}^{\sin 2x}$ 也不是偶函数，因为 $\mathrm{e}^{\sin(-2x)}=\mathrm{e}^{-\sin 2x}$ 一般不等于 $\mathrm{e}^{\sin 2x}$. 故选 B. \end{solution}

极坐标方程 $\rho = a\sin \theta$（$a > 0$）的图象是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由极坐标与直角坐标的关系 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$ 得 $\rho^2=x^2+y^2$，且 $\rho\sin\theta=y$. 将 $\rho=a\sin\theta$ 两边乘以 $\rho$，得到 $x^2+y^2=ay$，即 $x^2+\left(y-\frac{a}{2}\right)^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2$. 因此图象是圆心为 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 且与 $x$ 轴在原点相切的圆，故选 C. \end{solution}

设 $|a|\leqslant 1$，求 $\arccos a+\arccos\left(-a\right)$ 的值.

\begin{solution} 令 $\alpha=\arccos a$，则 $\alpha\in[0,\pi]$，且 $a=\cos\alpha$. 于是 $-a=-\cos\alpha=\cos\left(\pi-\alpha\right)$，并且 $\pi-\alpha\in[0,\pi]$. 由于反余弦函数的值域为 $[0,\pi]$，故 $\arccos(-a)=\pi-\alpha$. 因此 $\arccos a+\arccos(-a)=\alpha+\pi-\alpha=\pi$. \end{solution}

设 $(3x-1)^{6}=a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$，求 $a_{6}+a_{5}+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}$ 的值.

\begin{solution} 令 $x=1$ 代入已知恒等式，左边为 $(3-1)^6=2^6=64$，右边为 $a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$. 因此所求值为 $64$. \end{solution}