函数 $f(x) = A \sin \left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$（$A > 0$，$\omega > 0$）的最大值为 $3$，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 设 $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，$f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2$，求 $\alpha$ 的值.